3 - La funzione derivata

RELAZIONI E FUNZIONI Data una grandezza y = f(x), il tasso di variazione medio in un intervallo x è il rapporto tra la variazione della variabile dipendente, indicata con y, e la corrispondente variazione della variabile indipendente: y tasso di variazione medio = _ x Il tasso di variazione medio è quindi il rapporto incrementale. Se si vuole conoscere il tasso di variazione in un determinato istante, occorre calcolare in quell istante un limite del tipo: y tasso di variazione istantaneo = lim _ x 0 x spesso interessante conoscere la variazione istantanea della variabile dipendente in corrispondenza di un qualsiasi valore della variabile indipendente. Non solo, può essere soprattutto interessante capire come questa variazione istantanea vari a sua volta via via che varia il valore considerato. FISSA I CONCETTI Q Tasso di variazione medio: y _ x Q Tasso di variazione istantaneo: y lim _ x 0 x Esercizi da pag. 246 Possiamo, infatti, dire che, in generale, l andamento di un fenomeno (espresso da una funzione) è regolato da due aspetti distinti: Q il suo stato (dove sta): qual è cioè il valore della funzione in un punto; Q la sua tendenza (dove va): qual è la variazione della funzione in un punto, se i suoi valori stanno aumentando o diminuendo o sono stazionari. Il primo aspetto è descritto dalla funzione stessa e dal valore che essa assume in corrispondenza di un valore assegnato alla variabile indipendente. Il secondo aspetto è descritto dal tasso di variazione istantaneo, cioè dal limite (per x tendente a 0) del rapporto incrementale della funzione in quel punto: f(x 0 + x) f(x 0) lim ______________ x 0 x Da un punto di vista geometrico, questo limite esprime la direzione della tangente al suo grafico nel punto di ascissa x0 (è cioè uguale al coefficiente angolare della tangente). 3 La funzione derivata Supponiamo di conoscere alcuni valori di una funzione reale y = f(x) e, in corrispondenza di essi, i suoi tassi di variazione istantanei. I valori sono riportati in questa tabella: x 1 2 3 4 5 6 7 8 216 f (x) 1 _3_ 2 3 _9_ 2 4 _3_ 2 _1_ 2 _3_ 2 m (x) 1 _1_ 2 2 f (x) 0 1 4 ? _1_ 2 1 O 1 4 7 x

Il Maraschini-Palma - volume 5
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