Il tasso di variazione istantanea

4 Funzioni derivate e primitive esempio O Determina l equazione della retta tangente al grafico della funzione y = x3 nel punto P0 di ascissa 2. Qual è la sua inclinazione rispetto all asse delle ascisse? y P0 1 O 1 x Il punto P0, poiché appartiene al grafico della funzione, ha coordinate (2 ; 23) = = (2 ; 8). Una retta passante per P0 ha equazione: y 8 = m(x 2). Occorre determinare m in modo tale che la retta sia tangente. Consideriamo quindi un punto P vicino a P0, la cui ascissa differisca da quella di P0 per il valore x: P(2 + x ; (2 + x)3) Il coefficiente angolare della retta limite della secante passante per P e P0 al tendere di P a P0 è: (2 + x)3 23 8 + ( x)3 + 12 x + 6( x)2 8 m = lim ____________ = lim ____________ = x 0 x 0 x x PROVA TU P D Determina l'equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto assegnato: a. y = 3x2 2x P (1 ; 1) b. y = 2x3 2 P ( 1 ; 0) = lim (( x)2 + 12 + 6 x) = 12 x 0 La retta tangente in (2 ; 8) ha quindi equazione: y 8 = 12(x 2) y = 12x 16 Se vogliamo determinare l angolo che la retta forma con l asse delle ascisse basta ricordare che m = tan e quindi = arctan12. Con la calcolatrice troviamo 1,49 radianti corrispondenti a poco più di 85 gradi. FISSA I CONCETTI Q Q Punto stazionario: punto in cui la funzione né cresce né decresce. Rapporto incrementale: y ______________ f (x + x) f (x 0) _ = 0 x x Il tasso di variazione istantanea Il problema della velocità e quello delle tangenti a una curva rappresentano due aspetti dello stesso problema generale: come determinare il tasso di variazione istantaneo di una grandezza che varia in funzione di un altra. KEYWORDS K ta di variazione istantaneo / tasso instantaneous rate of change un problema che trova applicazione anche in altri aspetti della vita quotidiana. Nelle applicazioni economiche e statistiche, infatti, si considerano in genere tassi di variazione medi (per esempio il tasso di inflazione medio mensile, che esprime la variazione del costo della vita nell arco di un mese); tuttavia è spesso interessante conoscere il tasso di variazione istantaneo della grandezza considerata. 215

Il Maraschini-Palma - volume 5
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