Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI Fermat si rese conto che, se consideriamo punti vicini a P0 quanto si vuole, la variazione della funzione (f(x0 + x) f(x0)) nell intervallo x non è mai nulla. Essa tuttavia tende a diventare nulla all avvicinarsi a x0 (cioè, diremmo noi, al tendere di x a 0). In sostanza, un punto (di ascissa x0) è stazionario quando: f(x 0 + x) f(x 0) lim ______________ =0 x 0 x Fu così Fermat a sottolineare per la prima volta l importanza del rapporto tra incremento della funzione, cioè della variabile dipendente y, e corrispondente incremento della variabile indipendente. Nello studio del calcolo infinitesimale, negli anni successivi, questo rapporto è stato convenzionalmente chiamato rapporto incrementale della funzione nel punto x0: KEYWORDS K ra rapporto incrementale / incremental ratio (x + x) f(x0) y f______________ _ = 0 x Le considerazioni di Fermat relative alle tangenti orizzontali nei punti stazionari di una funzione possono essere generalizzate per determinare la tangente a una curva in altri punti. Supponiamo di voler determinare la retta tangente nel punto P0(x0 ; y0) al grafico della funzione y = f(x) (figura a lato). y P0 O x x Per definizione, la tangente in P0 alla curva (se esiste) ha queste caratteristiche: appartiene al fascio di rette di centro P0: sappiamo che la sua equazione è del tipo y y0 = m(x x0) e resta, quindi, da determinare il suo coefficiente angolare m; Q è la posizione limite di una retta secante la curva nei punti P0 e P al tendere di P a P0; Q tale retta è la stessa all avvicinarsi al punto P0 da sinistra o da destra. Q y y0 y O ATTENZIONE! A Il ffascio di rette di centro P0 soddisfa la seguente equazione: y y0 = m(x x0) Questa scrittura esclude però il caso, raro ma tuttavia esistente, in cui la retta sia tangente alla curva e sia parallela all asse y. In tale caso, la tangente ha equazione del tipo x = h. P0 P P x0 P x x Occorre allora tenere conto che: y y0 Q il coefficiente angolare della secante passante per P0 e per P è m = _; x x0 Q le coordinate di P(x ; y) possono essere riscritte considerando che interessa la sua appartenenza al grafico (e quindi y = f(x)) e la sua vicinanza a P0 (e quindi la sua ascissa è x0 + x). Il punto P(x ; y) può, quindi, essere riscritto come: P(x0 + x ; f(x0 + x)). Il coefficiente angolare della secante diviene così: f(x 0 + x) f(x 0) m = ________________ x Il coefficiente angolare della tangente (retta limite della secante al tendere di P a P0) è quindi: f(x 0 + x) f(x 0) lim ______________ =0 x 0 x 214

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