2 - Il problema delle variazioni

RELAZIONI E FUNZIONI O Determina l area sottesa al grafico della funzione y = 2x2 + 2 nell intervallo [ 1 ; 1]. y Disegnato l arco di parabola (figura a lato), che ha vertice in (0 ; 2), si individuano due rettangoli che formano un quadrato di area 4. L area della superfi8 2 cie che interessa è i __ dell area complessiva dei due rettangoli; è perciò __. 3 3 _ 1 O 1 x O Determina l area della superficie sottesa al grafico della funzione y = x nell intervallo [0 ; 9]. Anche in questo caso la superficie è delimitata da un arco di parabola (il grafi_ co di y = x è infatti la metà di una parabola avente come asse l asse delle x). 2 L area che interessa, essendo i __ dell area del rettangolo di base 9 e altezza 3, 3 misura 18. y 3 O 1 9 x L area della superficie sottesa al grafico di una funzione y = f(x) nell interb FISSA I CONCETTI Data la parabola y = x2 con 0 x a: Q volume del paraboloide di a altezza a: V = _ 2 2 Q area sottesa al grafico della parabola: A = _1 a3 3 Esercizi da pag. 243 vallo chiuso [a ; b] viene anche indicata con f(x)dx che si legge: integra le definito tra a e b di f(x) in dx. a Il simbolo, che risale a Gottfried Wilhelm von Leibniz, (1646-1716) ricorda che tale area è il limite della somma (da cui la S stilizzata) delle aree di n rettangolini al tendere di n all infinito: l area di ogni rettangolino si trova moltiplicando la base dx (che simboleggia un intervallo infinitesimo dell asse x) per l altezza f(x) (le altezze dei rettangoli che approssimano l area sono infatti sempre i valori della funzione). 2 Il problema delle variazioni Consideriamo ora due problemi classici dalla cui analisi prese le mosse, nel corso del XVII secolo, il calcolo infinitesimale: il problema della velocità istantanea e il problema della tangente a una curva. Lezione INTERATTIVA Variazioni istantanee 210 In particolare, il problema della determinazione della velocità istantanea, che abbiamo già accennato nell introdurre il concetto di limite, era divenuto centrale per l indagine sulla natura e sul mondo fisico avviata da Galileo Galilei (1564-1642).

Il Maraschini-Palma - volume 5
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