Il Maraschini-Palma - volume 5

4 Funzioni derivate e primitive Quindi: (n 1) n(2n 1) an = a3 _______________ 6 n3 a3 A n = b3 (12 + 22 + + n2) = _3 (12 + 22 + + n2) = n n(n + 1) (2n + 1) = a3 _______________ 6 n3 (n 1) n(2n 1) n(n + 1) (2n + 1) _ 1 Poiché lim _______________ = lim _______________ = , al tendere di n all in3 3 n n 3 6n 6n a3 finito le due successioni di aree an e An, convergono entrambe a _. Tale è l area 3 della superficie sottesa al grafico della parabola. L area della superficie sottesa al grafico della parabola y = x2 nell intervallo [0 ; a] a3 è dunque _. 3 Questa formula, anch essa dovuta ad Archimede, esprime il fatto che, dato un arco di parabola con un estremo nel vertice, possiamo considerare il rettangolo con due lati paralleli all asse della parabola e i due vertici opposti nei due estremi dell arco (figura a lato). Il rettangolo è diviso dall arco di parabola in due parti di diversa superficie. Per quanto visto nell ultimo esempio, l area della parte più piccola (quella al di sotto 1 dell arco di parabola, colorata in grigio) risulta essere __ dell area del rettangolo; 3 2 l area della parte più grande ne è perciò i __. 3 esempi O Determina l area della superficie sottesa all arco della parabola di equazione x2 3 y = _ + x + _ nell intervallo [0 ; 2] illustrato nella figura qui a lato. 2 2 3 11 L arco di parabola ha estremi in A(0 ; __) e D(2 ; ___), mentre la parabola ha 2 2 vertice in V( 1 ; 1). Disegnata la tangente in V alla parabola, l area da cercare, colorata in grigio, può essere ottenuta in questo modo: areaOEDA = areaVCD areaVBA + areaOECB VCD è l arco di parabola avente un estremo nel vertice V: l area al di sotto 1 dell arco di parabola è quindi __ dell area del rettangolo di base VC = 3 e al3 9 tezza CD = __: 2 1 9 9 areaVCD = _ 3 _ = _ 3 2 2 VBA è l arco di parabola avente un estremo nel vertice V: l area al di sotto 1 dell arco di parabola è quindi __ dell area del rettangolo di base VB = 1 e al3 1 tezza BA = __: 2 1 1 1 areaVCD = _ 1 _ = _ 3 2 6 Il rettangolo OECB ha base OE = 2 e altezza OB = 1 e quindi la sua area è 2. D y V A C B O E 1 2 x L area della superficie sottostante alla parabola nell intervallo [0 ; 2] è quindi: 9 1 38 19 areaOEDA = areaVCD areaVBA + areaOECB = _ _ + 2 = _ = _ 2 6 6 3 209

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