Il Maraschini-Palma - volume 5

4 Funzioni derivate e primitive Il caso più semplice è quello di un arco di curva formato da una linea spezzata; in questo caso la sua lunghezza è, semplicemente, la somma delle lunghezze dei segmenti consecutivi che formano la spezzata stessa. Consideriamo, invece, un arco di curva (non spezzata) di estremi A e B e vediamo come si possa definire rigorosamente la sua lunghezza, in modo che tale definizione corrisponda all idea intuitiva che abbiamo di questo concetto. B P3 P2 A P1 Sull arco di curva prendiamo n + 1 punti di cui il primo coincidente con l estremo A e l ultimo con l estremo B (A = P0, P1, P2, , Pn = B) e tracciamo i segmenti P0P1, P1P2, P2P3, , Pn 1Pn; otteniamo così una spezzata. Poiché la minima distanza tra due punti è quella in linea retta, la lunghezza della spezzata è minore della lunghezza dell arco di curva (intesa in senso intuitivo). Se vogliamo che la definizione di lunghezza di arco di curva ricalchi l idea intuitiva che ne abbiamo, dobbiamo considerare punti sempre più vicini tra loro in modo che la differenza tra la lunghezza della spezzata e la lunghezza dell arco di curva sia minimo (idealmente tenda a zero). In ognuno degli archetti di curva compresi tra due successivi punti Pi, Pi + 1 consideriamo quindi un altro punto Qi e congiungiamo Pi con Qi e questo con Pi + 1: Qi ATTENZIONE! A Il punto P0 coincide con A e il punto Pn coincide con B. Quindi la lunghezza della spezzata è data da: ¯1 + P¯ ¯ ¯ AP 1P2 + P2P3 + P3P4 + + + P¯ n 1B Pi + 1 Pi Otteniamo così una nuova spezzata formata da un numero doppio di segmenti la cui lunghezza è maggiore della lunghezza della spezzata precedente ma pur sempre minore della lunghezza della curva. Lo spezzettamento può essere ripetuto quante volte vogliamo ottenendo, successivamente, linee formate rispettivamente da n, 2n, 4n, 8n, , 2k n segmenti e, ognuna delle quali, con una sua precisa lunghezza (che è un numero reale positivo); queste lunghezze costituiscono una successione: a0, a1, , ak Se, al tendere di k all infinito, la successione così ottenuta è convergente, allora essa tende a un limite l che è, per definizione, la lunghezza dell arco di curva AB. Questa definizione di lunghezza di un arco di curva, ottenuta come limite delle lunghezze delle spezzate, pur nella sua apparente semplicità ricorre a procedimenti all infinito per i quali è necessario essere cauti nello spingersi troppo oltre l intuizione. Per determinare la lunghezza di una curva attraverso il limite delle lunghezze delle spezzate, occorre dunque sommare infiniti termini (le lunghezze di ogni segmento della spezzata), ognuno dei quali tende a essere zero. Si ha quindi sempre a che fare con un limite della forma 0, che come sappiamo è una forma indeterminata e va analizzato caso per caso. 203

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