Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI esempio O Verifica che le seguenti funzioni sono simmetriche rispetto all origine O: 9 a. y = 3x b. y = __ c. y = x3 d. y = senx x Le funzioni a., c., d. hanno come insieme di definizione l insieme R è quindi possibile prendere in considerazione ogni elemento x R per verificare, algebricamente, che ognuna di esse soddisfi la condizione richiesta. La funzione b. ha invece come insieme di definizione R0. Scrivendo f( x) e utilizzando la definizione di simmetria rispetto all origine, otteniamo: a. f( x) = 3( x) = 3x = f(x) 9 9 b. f( x) = ____ = __ = f(x), per x 0 ( x) x c. f( x) = ( x)3 = x3 = f(x) d. f( x) = sen( x) = senx = f(x) Possiamo verificare la simmetria rispetto all origine O anche disegnando i rispettivi grafici delle funzioni. ATTENZIONE! A Il grafico della funzione y = x3 incontra gli assi cartesiani solo nella loro origine O, è inoltre sempre decrescente. Puoi facilmente tracciarlo assegnando alcuni valori alla variabile x e osservando che a valori opposti della variabile indipendente corrispondono valori opposti della variabile dipendente. y 1 2 ATTENZIONE! A Il termine noto è considerato come un termine contenente la variabile x elevata a 0 ovvero un termine con x elevato a esponente pari. Quindi nell espressione di una funzione simmetrica rispetto all origine non compare il termine noto. 20 1 2 x 2 1 1 2 2 1 2 x 2 4 c. y y 10 5 2 5 b. O 1 a. 10 2 1 O 1 PROVA TU P D Determina se le seguenti funzioni sono simmetriche rispetto all asse delle ordinate, o rispetto all origine, o se non presentano simmetrie: a. y = 2x4 3x2 + 6 b. y = 2x4 3x3 + 6x2 5x c. y = 3x3 5x d. y = tanx y 2 5 O 10 x 4 O 2 5 2 10 4 6 x d. Se la funzione f è una funzione razionale intera e nella sua espressione algebrica la variabile x compare soltanto con esponente dispari (e non vi è, quindi, termine noto), allora certamente sostituendo a x un valore e il suo opposto si ottengono per y valori opposti: la funzione, o equivalentemente il grafico, è simmetrica rispetto all origine. Riassumendo possiamo, quindi, affermare che: Q se l espressione algebrica di una funzione razionale contiene solo potenze pari di x, allora il suo grafico è simmetrico rispetto all asse delle ordinate; Q se la funzione è intera e contiene solo potenze dispari di x, allora il suo grafico è simmetrico rispetto all origine.

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