1 - Problemi e funzioni

RELAZIONI E FUNZIONI Esercizi da pag. 68 1 Problemi e funzioni A più riprese, in questo corso, abbiamo affrontato lo studio di alcune funzioni particolari; la retta, la parabola e l iperbole equilatera, la funzione esponenziale e quella logaritmica, le funzioni goniometriche. Di tutte abbiamo colto gli aspetti che le accomunano e quelli che le distinguono. Anche in questo anno di corso concentreremo la nostra attenzione sulle funzioni ma in modo più generale sempre cercando le caratteristiche che le accomunano o quelle che le distinguono provando a trarre più informazioni possibili anche dalla loro rappresentazione sul piano cartesiano. Utilizzeremo tecniche che già hai studiato negli anni precedenti come, per esempio, le trasformazioni geometriche, affiancandole a tecniche nuove proprie di una branca della matematica chiamata Analisi matematica e ripercorrendo, anche dal punto di vista storico, le varie tappe che hanno portato alla sua nascita. Tutto ciò ci permetterà di costruire nuovi e potenti strumenti con i quali potremo, per esempio, calcolare l area della superficie delimitata dal grafico della funzione e dall asse delle ascisse. Due situazioni reali Iniziamo dunque questo nostro percorso di studio prendendo in esame due situazioni reali, cercando di formalizzarle analiticamente. Differenza di età I genitori di Paolo e quelli di Francesca sono amici, si frequentano con regolarità e trascorrono insieme le vacanze in montagna. Quando Francesca è nata, Paolo aveva tredici anni. Dopo i primi anni in cui, per ovvi motivi legati alla differenza di età, ognuno aveva il proprio gruppo di amici, nell estate del 2021, tra Paolo e Francesca, ormai maggiorenne, l amicizia si è trasformata in innamoramento. Francesca si confida con i genitori che rimangono perplessi per la differenza di età: Francesca ha diciotto anni e Paolo ne ha trentuno. Per questo ne discutono con lei, evidenziando quanto diverse possano essere le attese di una ragazza molto giovane e quelle di un giovane uomo. Lei però, nel discutere, ribatte ai genitori che anche tra loro c è una differenza proprio di tredici anni: sua madre ne ha quarantasei, suo padre cinquantanove. Sua madre obietta però che quando si sono messi insieme lei ne aveva ventisette e il padre ne aveva quaranta: «Non è la stessa cosa afferma perché la differenza di età vale in modo diverso nel tuo caso e nel mio; quando si è più grandi conta molto di meno . Difficile darle torto. Ma il suo discorso non è ben formulato. La differenza di età, infatti, rimane sempre uguale, non muta nel corso del tempo: se è 13 e con x indichiamo l età della persona più giovane, quella della più adulta sarà x + 13 e ciò rimarrà sempre così sia da giovani sia da adulti e anche vecchi. Generalizzando, se k è la differenza di età tra due persone e la più giovane X ha x anni, quella più grande Y ne ha y = x + k. Rappresentando in un grafico cartesiano l età di X sull asse delle ascisse e quella di Y sull asse delle ordinate, la differenza delle loro età, che è costante, è una semiretta parallela all asse delle ascisse (per esempio, per Paolo e Francesca, la differenza è 13, e la semiretta è di equazione y = 13, figura a pagina seguente). Quando X ha 5 anni, Y ne ha 18; quando X ha 18 anni, Y ne ha 31 (come Francesca e Paolo); quando X ha 46 anni, Y ne ha 59 (come i genitori di Francesca) e quando, per esempio, X ha 70 anni, Y ne ha 83. 2

Il Maraschini-Palma - volume 5
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