Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI Individua se le seguenti funzioni hanno dei punti di discontinuità e per essi determina limite sinistro e destro. esercizio svolto 1 y = _______ x3 4x Il denominatore si annulla se x3 4x = 0. x3 4x = 0 x(x2 4) = 0 x1 = 2, x2 = 0, x3 = 2 La funzione esiste se x R { 2, 0, 2}. In corrispondenza di questi tre valori la funzione ha tre punti di discontinuità. Per x tendente a ciascuno di questi valori il limite è . Vediamo in quali intervalli reali la funzione è positiva. Il suo segno dipende da quello del denominatore (essendo il numeratore uguale a 1): x3 4x > 0 x(x 2)(x + 2) > 0 Studiamo il segno positivo di ciascuno dei tre fattori e riportiamo i risultati nella tabella per stabilire il segno del denominatore: f1(x) > 0: x > 0 f2(x) > 0: x 2 > 0 x > 2 f3(x) > 0: x + 2 > 0 x > 2 2 0 R 2 f 1(x) + + f 2(x) + f 3(x) + + + f(x) + + Otteniamo: f(x) > 0 per 2 2 Questa rappresentazione ci permette di individuare il segno del limite sinistro e del limite destro in corrispondenza di ciascuno dei punti di discontinuità: lim f(x) = x 2 lim f(x) = + x 0 lim f(x) = x 2 99 1 y = ___________ (x 1)(2x 3) 1 100 y = ______2 (x + 1) (x + 1)(x + 3) (x 1)(2x 3) 101 y = ____________ 1 (x + 3) (2x 5) 102 y = _____________ 2 190 lim f(x) = + x 2+ lim f(x) = x 0+ lim f(x) = + x 2+ [1; + da sx., da dx.; _3_, da sx., + da dx. 2 ] [ 1; + da sx., + da dx.,] [1; + da sx., da dx.; _3_, da sx., + da dx. 2 ] [ 3, da sx., da dx.; _5_, da sx., + da dx. ] 2 103 1 y = _____ x2 x [0, + da sx., da dx.; 1, da sx., + da dx.] 5 2x x [0, da sx., + da dx.; 1, + da sx., da dx.] 1 x x [0, + da sx., da dx.; 1, da sx., + da dx.] 104 y = ______2 105 y = _____ 2 1 4x 106 y = ___2 [0, da sx., da dx.]

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