Il Maraschini-Palma - volume 5

i matem m L eggere di matematica EPILOGO, GOTTLOB FREGE A uno scrittore di scienza ben poca può giungere più sgradito del fatto che, dopo completato un lavoro, venga scosso uno dei fondamenti della sua costruzione. Sono stato messo in questa situazione da una lettera del signor Bertrand Russell, quando la stampa di questo volume stava per essere finita. Si tratta del mio principio (V). Non mi sono mai nascosto che esso non è così evidente come tutti gli altri e come propriamente si deve esigere da una legge logica. E infatti ho accennato a questa debolezza anche a pagina VII della prefazione al primo volume. Avrei volentieri rinunciato a questo fondamento se avessi saputo come sostituirlo. E ancora adesso non comprendo come l aritmetica possa venir fondata scientificamente, e come i numeri possano venir afferrati e inseriti nella trattazione quali oggetti logici, se non è permesso almeno in modo condizionale passare da un concetto alla sua estensione. Posso parlare in ogni caso dell estensione di un concetto, ossia posso in ogni caso parlare di una classe? E se no, in che modo si riconoscono i casi che fanno eccezione? Dal fatto che l estensione di un concetto coincide con quella di un altro, si può sempre concludere che ogni oggetto che cade sotto il primo concetto, cade pure sotto il secondo? Tali questioni vengono sollevate dalla comunicazione di Russell. Solatium miseris, socios habuisse malorum. Questo conforto, se conforto è, soccorre anche me; infatti tutti coloro che nelle loro dimostrazioni hanno fatto uso di estensioni concettuali, classi, insiemi sono nella mia stessa situazione. Qui non è in causa il mio metodo di fondazione in un particolare, ma la possibilità di una fondazione logica dell aritmetica in generale. Ma veniamo al fatto! Il signor Russell ha scoperto una contraddizione che ora esporrò. [...]. [G. Frege, Logica e aritmetica, tr.it. Boringhieri, Torino, 1977] La contraddizione che Russell aveva individuato era nell estendere il concetto di «insieme fino a parlare di «insieme di tutti gli insiemi che soddisfano una data proprietà. Nei primi due decenni del Novecento molte altre antinomie contribuirono a mettere in crisi l apparato logico-concettuale che si era dato la matematica e, soprattutto, il programma di fondare la matematica su basi logiche al riparo da qualunque contraddizione. Lo stesso Russell elaborò una complessa teoria (detta teoria dei tipi) nella quale la formazione di insiemi veniva vincolata al fatto che un insieme potesse essere elemento di un altro insieme soltanto se quest ultimo fosse stato di un «tipo più generale. Russell aveva infatti individuato un elemento comune di tutte le antinomie: la autoreferenzialità (riferirsi a sé stessi), il fatto cioè che in un linguaggio, in una teoria, fosse possibile affermare qualche cosa attorno al linguaggio o alla teoria stessa. Le antinomie avvertono di quanta cautela occorra nell uso del linguaggio, nella formulazione di giudizi autoreferenziali e nella definizione di concetti astratti; esse mostrano i limiti dei processi di astrazione e formalizzazione e della loro capacità di descrivere e rappresentare la realtà. La scoperta delle antinomie determinò perciò intense ricerche e un lungo dibattito nel corso del quale si confrontarono diverse scuole di pensiero: c era chi proponeva di evitare le astrazioni incondizionate che derivavano dalla teoria degli insiemi di Georg Cantor (1848-1918) e chi, invece, sottolineava la necessità di non perdere la potenza degli strumenti concettuali che la matematica era riuscita a darsi da Cantor in poi. Il maggiore esponente di quest ultimo indirizzo di pensiero era il matematico tedesco David Hilbert (1862-1943), che così si espresse: «Nessuno potrà cacciarci dal paradiso che Cantor ha creato per noi! 181

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