Il Maraschini-Palma - volume 5

i matem L eggere di matematica più le caratteristiche di calcolo formale, matematico, da un altro, si presentò alla matematica stessa come strumento d indagine sui propri fondamenti e sui propri procedimenti. Il rapporto tra logica e matematica e la possibilità o meno di ridurre l una all altra caratterizzarono, infatti, il dibattito sulla logica della fine del XIX secolo e i primi decenni del XX. Come abbiamo visto nelle letture precedenti, i Principia Mathematica pubblicati tra il 1910 e il 1913 da Bertrand Russell e Alfred Whitehead chiusero questa discussione, perché fu proprio Russell in una nota lettera che qui riporteremo a mostrare a Frege la contraddizione cui si giunge a partire dalla definizione di «insieme da lui accolta nei Principia. Ma procediamo per gradi. A partire dal fatto che nella logica possiamo ben trovarci in situazioni contraddittorie, che rischiano di minare l intero edificio logico sul quale poggia la matematica. Sono le situazioni poste dalle antinomie e dai paradossi. Nonostante i due termini siano utilizzati spesso come sinonimi, una antinomia è una proposizione autocontraddittoria (se è vera è falsa e viceversa); un paradosso è una conclusione che contrasta con il nostro modo di vedere o anche con le stesse premesse. Nella tradizione spesso alcune antinomie sono state tramandate come paradossi. L affermazione più famosa, nota come paradosso del mentitore, risale all antica Grecia del VI secolo avanti Cristo e lo storico greco Diogene Laerzio ne attribuisce la paternità a Eubulide di Mileto, esponente della scuola di Megara a cui la tradizione filosofica fa risalire la scoperta dei paradossi quale esito del tentativo di mostrare come, portata alle sue estreme conseguenze, la dialettica socratica finisca per decretare il fallimento stesso degli strumenti linguistici di cui si avvale. Il paradosso del mentitore può essere così formulato: «Io mento . I protagonisti della matematica La frase «Io mento contiene una strana incongruenza. Su di essa, infatti, si possono avanzare due ipotesi: è vera oppure è falsa. Se è vera, cioè se chi parla stesse mentendo, allora starebbe dicendo una bugia ed è quindi falsa. Se è falsa, cioè se chi parla non stesse mentendo, allora non starebbe effettivamente dicendo una bugia, ed è, quindi, vera. Anche se talvolta assumono la veste di giochi o rompicapo, le antinomie hanno sempre costituito punti di partenza per riflessioni sull assetto logico di una disciplina o sull uso del linguaggio. Fu proprio la scoperta di una antinomia nella teoria degli insiemi, in particolare, a dare origine all inizio del XX secolo a quella che è stata chiamata la crisi dei fondamenti della matematica. L antinomia, come abbiamo accennato, venne individuata dal filosofo e matematico inglese Bertrand Russell (1872-1970) che la comunicò a Frege nella famosa lettera. Prende pertanto il nome di antinomia di Russell. Vediamo in cosa consiste. Come sappiamo, un insieme è una collezione di elementi di qualsiasi natura, considerati collettivamente. Possiamo, per esempio, considerare anche l insieme dei nostri sogni dell ultimo mese oppure l insieme dei pensieri affettuosi che vogliamo rivolgere a una persona, così come l insieme dei sassi di un giardino o l insieme delle lettere dell alfabeto. Gli insiemi si possono pensare suddivisi in due categorie: insiemi che tra gli elementi hanno loro stessi: per esempio, «l insieme di tutti i concetti astratti è a sua volta un concetto astratto e ha perciò sé stesso tra i suoi elementi; insiemi che non hanno loro stessi come elementi: per esempio, l insieme dei numeri naturali non è un numero naturale e perciò, tra i suoi elementi, non c è sé stesso; analogamente, l insieme di tutti i gatti non è un gatto. Bertrand Russell (1872-1970) è stato un filosofo e logico britannico. Ha tentato di risolvere i paradossi da lui stesso individuati nei progetti di fondazione logica dell aritmetica ed ha elaborato risentendo in parte dell influsso di Ludwig Wittgenstein (1889-1951) una concezione del linguaggio come raffigurazione della realtà, costituito da proposizioni atomiche, corrispondenti a dati sensoriali e non ulteriormente analizzabili. stato insignito del premio Nobel per la letteratura nel 1950. A lui e a Jean-Paul Sartre si deve l istituzione di un tribunale internazionale contro i crimini di guerra, spesso detto Tribunale Russell. 177

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