Strumenti - La ricerca degli zeri di una funzione

Strumenti La ricerca degli zeri di una funzione In questa unità abbiamo enunciato il teorema di esistenza degli zeri che garantisce l esistenza di almeno uno zero per una funzione y = f(x) continua in un intervallo chiuso [a ; b] ai cui estremi assuma valori di segno opposto. Questo teorema ci permette di costruire un metodo per la ricerca degli zeri di una funzione chiamato metodo della bisezione; vediamo in che cosa consiste. Metodo della bisezione I. Se la funzione verifica le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri allora esiste c [a ; b] tale che f(c) = 0. a+b a+b II. Dividiamo l intervallo [a ; b] in due parti uguali a ; _____ e _____ ; b [ ] 2 ] [ 2 a+b a+b _____ _____ a. Se f( = 0 allora è lo zero cercato. 2 ) 2 a+b a+b a+b b. Se f(_____) 0 allora, tra gli intervalli a ; _____ e _____ ; b sceglia[ ] 2 2 ] [ 2 mo quello ai cui estremi la funzione assume valori di segno opposto e ripetiamo il procedimento dal punto II. Reiterando questo schema n volte otteniamo una successione di intervalli ognuno contenuto nel precedente: [a ; b] [a 1 ; b 1] [a n ; b n] le cui ampiezze valgono rispettivamente: b a b a b a ; _____; ; _____ 2 2n Lo zero cercato si troverà nell intervallo [a n ; b n] e possiamo approssimarlo con la media tra gli estremi: an + bn c = _______ 2 In corrispondenza di tale valore avremo: an + bn f(c) = f _ 0 ( 2 ) Più è alto il numero n di suddivisioni migliore sarà la precisione del valore cercato. 1 Per esempio, prendiamo in considerazione la funzione y = x3 __, continua in 2 tutto R. Prendiamo in considerazione l intervallo [a ; b] = [ 1 ; 1]; ai suoi estremi 1 3 f(a) = f( 1) = ( 1)3 _ = _ 0 2 2 Quindi, per il teorema di esistenza degli zeri, deve esistere un valore c [ 1 ; 1] tale che f(c) = 0. Dividiamo l intervallo [a 1 ; b 1] = [a ; b] = [ 1 ; 1] in due intervalli uguali [ 1 ; 0] e [0 ; 1]. 1 Poiché: f(0) = __ < 0 consideriamo l intervallo [a 2 ; b 2] = [0 ; 1] perché ai suoi 2 estremi la funzione assume valori di segno opposto. 174

Il Maraschini-Palma - volume 5
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