Il Maraschini-Palma - volume 5

3 Funzioni continue TEOREMA (continuità della funzione inversa) ATTENZIONE! A Se una funzione y = f(x) è continua e invertibile in un intervallo [a ; b], anche la sua funzione inversa y = f 1(x) è continua nell intervallo [f(a) ; f(b)]. Questa proprietà si estende anche al caso in cui la funzione è definita in un intervallo aperto, una semiretta o tutto l asse reale. Vediamo questa proprietà dal punto di vista grafico con i seguenti esempi. L inverse delle funzioni Le goniometriche fondamentali sono state considerate nella unità 1 del volume 4, come introduzione alla Trigonometria. y esempi O In quali intervalli è possibile considerare le funzioni inverse delle funzioni y = cosx, y = senx e y = tanx? La funzione y = cosx è invertibile se considerata nell intervallo [0 ; ]. La sua inversa è la funzione y = arccosx che risulta definita nell intervallo [ 1 ; 1]. Il suo grafico si ottiene, come sempre per una funzione inversa, a partire dal tratto del grafico di y = cosx, con la simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante (figura a lato). La sua immagine è, appunto, l intervallo [0 ; ]. La funzione y = senx è invertibile nell intervallo [ __ ; __] dove è univoca. 2 2 La sua inversa è la funzione y = arcsenx che è definita nell intervallo [ 1 ; 1] e il suo grafico è (figura a lato): Per definire l inversa della funzione y = tanx, avendo presente il suo grafico, oc corre limitare la sua immagine all intervallo aperto ( __ ; __). 2 2 In tal modo il grafico della funzione inversa, y = arctanx, è la curva simmetrica riy spetto alla bisettrice di uno solo degli infi 2 niti rami che compongono il grafico della funzione tangente (figura a lato): O 1 La funzione è definita in tutto R e la sua _ _ _ _ immagine è l intervallo aperto ( ; ). 2 2 1 O 1 x 1 x y 2 O 1 2 1 x 2 Quanto qui esposto permette di dimostrare rigorosamente quanto già sappiamo (e abbiamo utilizzato) per via più intuitiva, riguardo ad alcune funzioni inverse particolarmente importanti: _ Q y = x è continua nel suo insieme di definizione (x 0); Q y = lnx è continua nel suo insieme di definizione (x > 0); Q y = arctanx è continua nel suo insieme di definizione (R); Q y = arcsenx e y = arccosx (rispettivamente inverse di y = senx e di y = cosx sono continue nel loro insieme di definizione ( 1 x 1) (vedi esempio precedente). Dai risultati della continuità della composizione di funzioni continue e di una funzione invertibile continua, possiamo ricavare inoltre che se y = f(x) è una funzione definita e continua in un opportuno intervallo, risultano allora continue nel loro insieme di definizione le funzioni del tipo: ___ Q y = f(x) Q y = ln(f(x)) Q y = arcsen(f(x)) Q y = arccos(f(x)) Q FISSA I CONCETTI Q lim f(x) = l con l R x a {g continua in l lim g(f(x)) = g(l) x a Q Q La funzione composta di due funzioni continue è continua. y = f (x) è continua e invertibile in un intervallo [a ; b] funzione inversa y = f 1(x) è continua nell intervallo [f (a) ; f (b)]. y = arctan(f(x)) Esse sono infatti ottenute per composizione di funzioni inverse di funzioni continue. Approfondisci CLIL A particular limit (inglese) 169

Il Maraschini-Palma - volume 5
Il Maraschini-Palma - volume 5