3 - La continuità della funzione composta e della funzione

RELAZIONI E FUNZIONI Esercizi da pag. 192 3 La continuità della funzione composta e della funzione inversa La caratteristica di continuità di una funzione si trasmette anche per composizione. Vale infatti il seguente teorema, che qui ci limitiamo a enunciare, che consente di calcolare i limiti di funzioni composte. TEOREMA (limite della funzione composta) Date due funzioni reali f e g, se esiste finito: lim f(x) = l x a e se g è una funzione continua in l, allora: lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(l) x a x a Il teorema vale anche se a non è un numero reale, ma rappresenta il simbolo . esempio O Calcola lim cos( ex). x 0 Sia la funzione esponenziale sia la funzione coseno sono definite e continue in R. La funzione di cui dobbiamo calcolare il limite per x che tende a 0 è la composizione delle due. Perciò, applicando il limite della funzione composta, otteniamo: lim cos( ex) = cos(lim ex) = cos(1) 0, 54 x 0 x 0 Dal teorema precedente ricaviamo anche che la caratteristica di continuità si conserva nella composizione di funzioni. TEOREMA (continuità della funzione composta) La funzione composta di due funzioni continue è ancora una funzione continua. Grazie a questa proprietà possiamo ampliare la classe delle funzioni continue. Se infatti y = f(x) è una funzione continua in R abbiamo, per esempio che: Q y = sen(f(x)) è continua in R; Q y = cos(f(x)) è continua in R; Q y = tan(f(x)) è continua per ogni numero reale tale che f(x) __ + k ; 2 f(x) Q y = e è continua in R. L operazione di composizione può poi essere ripetuta più volte e possono quindi essere considerate funzioni composte di più di due funzioni elementari. Per esempio, la funzione y = sen(cos(x2 3x + 1)) è composta di tre funzioni: una polinomiale di secondo grado (continua in R) e due funzioni goniometriche (continue in R). Per quanto stabilito la funzione è continua in R. Anche per la funzione inversa di una funzione continua la caratteristica di continuità si trasmette. Vale infatti il seguente teorema, che qui ci limitiamo a enunciare. 168

Il Maraschini-Palma - volume 5
Il Maraschini-Palma - volume 5