Il teorema di Weierstrass

3 Funzioni continue Il teorema di Weierstrass Abbiamo visto nel paragrafo precedente che se una funzione è continua in un intervallo chiuso, allora la sua immagine ha necessariamente un estremo inferiore e un estremo superiore; ne consegue che, per il teorema di Bolzano, la funzione assume tutti i valori compresi tra questi due estremi. Da ciò deduciamo che: se la funzione f è continua nell intervallo chiuso I, anche l insieme f(I) è un intervallo. L immagine f(I) non può quindi essere formata né da tratti separati, né da una o più semirette (illimitate), né essere l intero asse reale. Inoltre, il teorema seguente, dovuto al matematico tedesco Karl Weierstrass, stabilisce che f(I) è un intervallo chiuso e cioè che gli estremi superiore e inferiore gli appartengono, quindi f(I) ha un minimo e un massimo. TEOREMA (di Weierstrass) Se y = f(x) è una funzione continua definita in un intervallo chiuso I, allora essa ha un minimo e un massimo. Il teorema di Weierstrass, che qui non dimostriamo, è un teorema non costruttivo, cioè esso garantisce che una funzione continua definita in un intervallo chiuso ha un minimo e un massimo, ma non fornisce alcun modo per determinarli. APPROFONDIMENTO A P risolvere questo problema sono necessari altri strumenti analitici quali le derivate, che Per considereremo nelle successive unità. Il teorema di Weierstrass, inoltre, non esclude che una funzione non continua oppure non definita in un intervallo chiuso abbia minimo o massimo. Questo è, per esempio, il grafico di una funzione non continua e definita in un intervallo non chiuso, che ha però un minimo e un massimo: y max O min x FISSA I CONCETTI Teorema di Weierstrass: una funzione continua in un intervallo chiuso ha un minimo e un massimo. I protagonisti della matematica Karl Weierstrass (1815-1897) matematico tedesco, è considerato uno dei fondatori della moderna analisi matematica, cioè quella branca della disciplina che si occupa di calcolo infinitesimale. Destinato dal padre alla carriera di funzionario statale, a 19 anni ha iniziato a frequentare i corsi di legge, economia e finanza presso l università di Bonn che, ben presto, ha abbandonato. Nel 1839, si è iscritto all università di M nster per conseguire il titolo di insegnante di scuola secondaria, ottenuto nel 1841. Per 14 anni ha insegnato matematica nella scuola secondaria a M nster e a Braunsberg, nel più completo isolamento scientifico finché una sua pubblicazione del 1854 sul «Journal di Crelle gli è valsa la laurea honoris causa dell università di K nigsberg. Nel 1856 è stato nominato professore all università di Berlino e, successivamente, è stato eletto membro dell Accademia di Berlino. Tra i suoi allievi spiccano personalità importanti del mondo della matematica: Georg Cantor, Felix Klein, Sophus Lie, Hermann Minkowski e Sof ja Kovalevskaja. La sua opera riguarda essenzialmente la definizione rigorosa dei fondamenti dell analisi matematica, in particolare i concetti di limite e di continuità. Ma a lui si devono anche, tra gli altri contributi, la costruzione aritmetica dell insieme dei numeri irrazionali e la notazione |x| per il valore assoluto di un numero reale x. Dopo la sua morte, tutti i suoi scritti sono stati raccolti nei sette volumi delle Mathematische Werke (Opere matematiche), pubblicati a cura dell Accademia prussiana delle scienze. 167

Il Maraschini-Palma - volume 5
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