Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI d. La funzione è continua nell intervallo aperto I = ( __ ; +__) dunque: 2 2 Q f(I) = R è illimitato sia superiormente sia inferiormente. y PROVA TU P 2 D Dopo aver determinato f (I), stabilisci se tale insieme è limitato, illimitato e determina l estremo superiore e inferiore e gli eventuali massimo e minimo: I = ( 2 ; 3] a. y = x2 1 b. y = _____ I = [0 ; 1) x 1 c. y = senx I = (0 ; ) O 2 x Come possiamo dedurre dagli esempi precedenti, la situazione è radicalmente diversa se l intervallo I è chiuso oppure no. Se, infatti, l intervallo I = [a ; b] in cui la funzione y = f(x) è definita e continua è chiuso, allora necessariamente agli estremi abbiamo: y y f (a) f (x) f (b) f (a) f (x) f (b) O a x b x lim f (x) = f (a) R x a In ogni intorno destro di a (per quanto piccolo sia il suo raggio) la funzione non può oltrepassare un valore reale qualunque, dovendo essere | f (x) f (a) | < . FISSA I CONCETTI Una funzione continua in un intervallo chiuso è limitata. 166 O a x b x lim f (x) = f (b) R x b In ogni intorno sinistro di b (per quanto piccolo sia il suo raggio), poiché deve essere | f (x) f (b) | < , la funzione non può oltrepassare un numero reale qualunque. Se dunque la funzione è continua in un intervallo chiuso, essa non può tendere all infinito né se x tende a un valore interno all intervallo, né se x tende a uno degli estremi dell intervallo. Si giustifica così il seguente teorema. TEOREMA (funzione continua in un intervallo chiuso) Una funzione continua in un intervallo chiuso è limitata.

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