L’esistenza degli zeri

RELAZIONI E FUNZIONI KEYWORDS K el elemento massimo / maximum element estremo inferiore / lower extreme elemento minimo / minimal element Gli esempi precedenti ci suggeriscono che l estremo superiore non è detto che appartenga al sottoinsieme S; se ciò accade allora viene detto elemento massimo del sottoinsieme e lo indichiamo con max(S); nel primo esempio 17 = sup(S) = max(S). Analoga definizione può essere data per l estremo inferiore di un sottoinsieme di R. DEFINIZIONE Un numero x R è estremo inferiore per un sottoinsieme S di numeri reali se (e solo se): Q non esistono elementi di S minori di x; Q x è il maggiore tra gli elementi di R che soddisfano la precedente condizione. Lo indichiamo con la scrittura: x = inf(S) Se l estremo inferiore appartiene al sottoinsieme S allora è il suo elemento minimo e lo indichiamo con min(S). esempio n 1 O Nell insieme Q consideriamo il sottoinsieme F delle frazioni del tipo _ n (con n N e n > 1): 1 2 3 4 5 F = {_ , _ , _ , _ , _ , . . .} 2 3 4 5 6 1 Nessuna delle frazioni di F è minore di __; 2 1 Q __ è sicuramente il più grande numero razionale minore di ognuna di esse. 2 1 Quindi: __ = inf (F) e, appartenendo a F, ne è anche il minimo. 2 Inoltre, come puoi verificare sup(F) = 1 ma, non appartenendo a F non ne è massimo. Q PROVA TU P D Determina se i seguenti insiemi sono limitati inferiormente e/o superiormente e, se ci sono, il minimo e il massimo: a. A = {x N x è multiplo di 2}; b. B = {x N 5 < x 3} FISSA I CONCETTI Q Q Q Q Estremo superiore per S: x = sup (S) se non esistono elementi di S maggiori di x; x è il minore tra gli elementi di R che soddisfano la precedente condizione. Se l estremo superiore appartiene all insieme è il suo massimo. Estremo inferiore per S: x = inf (S) se non esistono elementi di S minori di x; x è il maggiore tra gli elementi di R che soddisfano la precedente condizione. Se l estremo inferiore appartiene all insieme è il suo minimo. Diciamo che un insieme S è: Q limitato superiormente se esiste il suo estremo superiore; Q limitato inferiormente se esiste il suo estremo inferiore; Q non limitato se non ha né estremo inferiore né estremo superiore. Un insieme può essere limitato sia superiormente sia inferiormente, può essere limitato superiormente e non limitato inferiormente o viceversa, può non essere limitato superiormente e neppure inferiormente. L esistenza degli zeri Consideriamo alcuni teoremi sulle funzioni che permettono di stabilire quali sono le caratteristiche fondamentali delle funzioni continue. TEOREMA (permanenza del segno) Se y = f(x) è una funzione continua in un punto a e f(a) 0, allora esiste un intorno di centro a in cui la funzione (se definita) ha lo stesso segno di f(a). 162

Il Maraschini-Palma - volume 5
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