2 - Le proprietà delle funzioni continue

3 Funzioni continue 2 Le proprietà Esercizi da pag. 188 delle funzioni continue Molte proprietà delle funzioni continue sono così evidenti graficamente che sembrerebbe inutile la loro dimostrazione; anche noi, in questo testo, abbiamo già utilizzato in varie occasioni tali proprietà, confidando sulla loro immediatezza. Tuttavia le difficoltà relative all infinitamente piccolo e la possibilità di cadere facilmente in errori e paradossi, rendono necessario, a questo livello degli studi, enunciare alcune proprietà delle funzioni continue. Gli estremi di un insieme Richiamiamo, qui di seguito, i concetti di estremo superiore e inferiore e di massimo e minimo per un sottoinsieme S R già studiati in nell unità 2 del volume 3, ma fondamentali per lo studio della continuità. DEFINIZIONE Un numero x R è estremo superiore per un sottoinsieme S di numeri reali se (e solo se): Q non esistono elementi di S maggiori di x; Q x è il minore tra gli elementi di R che soddisfano la precedente condizione. Lo indichiamo con la scrittura: x = sup(S). KEYWORDS K e estremo superiore / upper extreme L estremo superiore di S è, quindi, il più piccolo tra i numeri reali che non sono superati dagli elementi di S. esempi O Nell insieme dei numeri naturali N consideriamo il sottoinsieme S formato da tutti i numeri dispari minori di 18. Qual è l estremo superiore per S? S = {1, 3, 5, ,17} dunque: sup(S) = 17 Elementi di N non superati dagli elementi di S 1 2 3 17 18 In questo caso, l estremo superiore 17 appartiene al sottoinsieme S. O Nell insieme dei numeri razionali Q consideriamo il sottoinsieme: S = {0,3; 0,33; 0,333; sia possibile scrivere le cifre decimali} Qual è l elemento sup(S)? Abbiamo: 1 sup (S) = _ 3 _ 1 In questo caso, _ = 0,3 non appartiene al sottoinsieme di cui è estremo supe3 riore non avendo la parte decimale di lunghezza finita. 161

Il Maraschini-Palma - volume 5
Il Maraschini-Palma - volume 5