Una nuova definizione di continuità

RELAZIONI E FUNZIONI My English lesson Una nuova definizione di continuità page 170 Dalla proprietà di continuità, piuttosto ovvia, delle funzioni costanti e della funzione identica possiamo definire la continuità in modo generale. Consideriamo un punto a sull asse delle ascisse e chiamiamo x un piccolo incremento della variabile x. Il numero a + x rappresenta un numero vicino ad a. Poiché, nel caso della funzione identica y = x abbiamo lim x = a allora x a lim x = 0. x 0 Quindi, se x tende a 0, il numero a + x tende ad a e la scrittura lim f(a + x) x 0 è equivalente a lim f(x). x a y f (a + x) f (a) x O a a + x x Quindi, se una funzione è continua nel punto a, allora lim f(x) = f(a); e possiamo x a scrivere: lim f(a + x) = f(a) x 0 Poiché f(a) è costante, per i teoremi sui limiti: lim f(a + x) f(a) = 0 lim f(a + x) lim f(a) = 0 x 0 lim (f(a + x) f(a)) = 0 x 0 x 0 x 0 Abbiamo così dimostrato il seguente: ATTENZIONE! A In effetti, x (da leggersi «delta x ) è semplicemente un numero reale (positivo o negativo) indicato in questo modo perché rappresenta un incremento. Potremmo anche indicarlo semplicemente con una lettera, per esempio h e scrivere lim f(a + h) f(a) = 0 h 0 TEOREMA (continuità in un punto) Una funzione è continua nel punto a se e solo se: lim (f(a + x) f(a)) = 0 x 0 Il teorema esprime un modo di vedere la continuità in termini intuitivi: la funzione è continua in a se, «avvicinandosi ad a sull asse delle ascisse, il suo valore «tende ad avvicinarsi a f(a) sull asse delle ordinate. Grazie a questa nuova definizione, possiamo dimostrare la continuità di funzioni goniometriche e della funzione esponenziale. esempio O Dimostra che la funzione y = senx è continua in R. Nel paragrafo 6 dell unità precedente, relativo al calcolo dei limiti, abbiamo visto che: lim senx = 0 e lim cosx = 1 x 0 x 0 Se a è un qualunque numero reale e x un incremento allora, per la formula di addizione del seno abbiamo: sen(a + x) = sena cos x + cosa sen x 158

Il Maraschini-Palma - volume 5
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