Le principali funzioni continue

3 Funzioni continue My English lesson Le principali funzioni continue page 170 Esaminiamo ora le principali funzioni continue. In realtà le abbiamo considerate più volte e ne abbiamo disegnato il grafico in modo continuo ma qui giustificheremo in modo formale quanto già fatto nelle unità precedenti. Come primi due esempi consideriamo le funzioni più elementari: la funzione costante e la funzione identica. esempi y k O Ogni funzione costante y = k è continua in R. Infatti, qualunque sia a R: lim k = k O x a O La funzione identica y = x è continua in R. a O x y=x y a Infatti, per qualunque numero reale a: lim x = a x a y=k a x Dai teoremi sui limiti delle funzioni seguono alcune proprietà delle funzioni continue che riportiamo nel seguente teorema. TEOREMA (operazioni con le funzioni continue) Se y = f(x) e y = g(x) sono due funzioni continue nel punto a, allora: Q la funzione somma y = f(x) + g(x) è continua nel punto a; Q la funzione prodotto y = f(x) g(x) è continua nel punto a; Q la funzione opposta y = f(x) (simmetrica rispetto all asse x) è continua nel punto a; f(x) Q la funzione quoziente y = _ (se a non è uno zero per la funzione g) g(x) è continua nel punto a; Q la funzione valore assoluto y = |f(x)| è continua nel punto a. Dimostrazione Dimostriamo soltanto il caso della somma di due funzioni, giacché per gli altri si procede in modo analogo. Ts: lim (f(x) + g(x)) = f(a) + g(a) Ip: lim f(x) = f(a); lim g(x) = g(a) x a x a x a Dal teorema della somma dei limiti abbiamo: lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x) = f(a) + g(a) x a x a x a c.v.d. Come conseguenza del teorema otteniamo che: ogni funzione polinomiale y = an xn + + a2x2 + a1 x + a0 è continua in R. FISSA I CONCETTI Q Q Q Una funzione polinomiale è, infatti, definita per ogni valore reale ed è ottenuta con somme e prodotti di funzioni continue. p(x) Ogni funzione razionale frazionaria y = _ è continua in R {x q(x) = 0}. q(x) Q L insieme di definizione della funzione si ottiene togliendo da R i valori che annullano il denominatore. Per tutti i valori reali che non annullano il denominatore, la funzione è il quoziente di due funzioni continue. La funzione costante è continua in R. La funzione identica è continua in R. Se f e g sono continue in a allora: f + g f g sono continue in a f f/g |f | Q Ogni funzione polinomiale è continua in tutto R. Ogni funzione razionale frazionaria è continua nel suo insieme di definizione. 157

Il Maraschini-Palma - volume 5
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