La definizione di continuità

RELAZIONI E FUNZIONI My English lesson La definizione di continuità page 170 Disponendo ora della definizione di limite, possiamo rendere più rigoroso il concetto di grafico continuo e definire continua una funzione il cui grafico ha caratteristica di continuità. Per questo, definiamo prima che cosa si intende per funzione continua in un punto, cioè che sia definita in quel punto e che in corrispondenza di esso il suo grafico sia continuo. Estenderemo poi questa caratteristica di continuità a un intervallo di punti, quando la funzione risulta continua in ciascun punto dell intervallo, per arrivare anche ai casi in cui una funzione è continua in tutto il suo insieme di definizione. DEFINIZIONE Una funzione y = f(x) è continua in un punto a R se è definita nel punto a e il suo limite, per x tendente ad a, coincide con il valore della funzione in a. In simboli: KEYWORDS K fu funzione continua in un punto / continuous function at one point punto di discontinuità / point of discontinuity lim f(x) = f(a) x a Da ciò possiamo dedurre che i casi di discontinuità di una funzione in un punto possono essere di diverso tipo: I. la funzione non è definita in a, come nei primi due esempi dei grafici qui sotto; II. la funzione è definita in a, ma lim f(x) lim+ f(x), come nel grafico indicato x a x a con II perché il grafico della funzione ha un salto; III. la funzione è definita in a, esiste il limite, ma lim f(x) f(a), perché il valore x a della funzione, nel grafico indicato dal punto di coordinate (a ; f(a)), è diverso del limite a cui tende la funzione prima e dopo del suo valore in corrispondenza di a. y I. O y a x O y a x II. O y a x III. O a x DEFINIZIONE KEYWORDS K fu funzione continua in un intervallo / continuous function in an interval Una funzione si dice continua in un intervallo (o in tutto il suo insieme di definizione) se è continua in ogni suo punto. Conoscere gli intervalli nei quali una funzione è continua è piuttosto importante, giacché laddove è continua non vi è necessità di calcolarne il limite (essendo uguale al valore della funzione in quel punto): il calcolo del limite si effettua soltanto nei punti di discontinuità oppure quando la variabile indipendente x tende all infinito. FISSA I CONCETTI Q Q Q 156 Funzione continua in un punto se è definita in a e lim f(x) = f(a). x a Casi di discontinuità di una funzione per x = a: I. la funzione non è definita in a; II. la funzione è definita in a, ma lim f(x) lim+ f(x); III. la funzione x a x a è definita in a, esiste il limite, ma lim f(x) f(a). x a Funzione continua in un intervallo se è continua in ogni punto di quell intervallo.

Il Maraschini-Palma - volume 5
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