1 - Le funzioni continue

RELAZIONI E FUNZIONI Esercizi da pag. 184 1 Le funzioni continue Discretezza e continuità sono due concetti che hanno accompagnato le pagine di questo testo nei precedenti volumi. L insieme dei numeri naturali N è un tipico esempio di insieme discreto: di ciascun numero naturale è possibile stabilire quale sia il successivo e nella rappresentazione sulla retta i numeri naturali sono punti ben separati l uno dall altro. Leggi L insieme Q è numerabile Già i numeri razionali hanno posto qualche problema perché di un numero razionale qualsiasi non è possibile stabilire quale sia il successivo nell ordinamento del loro insieme sulla retta: l insieme Q dei numeri razionali, rappresentato sulla retta costituisce un insieme denso. Abbiamo però visto che è possibile ordinare i numeri razionali in un altro modo, un po ingegnoso, realizzando così un ordinamento diverso da quello usuale e tale però che su di esso sia possibile stabilire quale sia il successivo di un qualsiasi numero razionale. Abbiamo anche visto che i numeri razionali non saturano tutti i punti della retta perché su di essa è possibile rappresentare anche numeri che non sono razionali e che sono detti, appunto, irrazionali. Solo l insieme R dei numeri reali, che comprende sia razionali sia irrazionali riempie tutti i punti della retta: proprio per questo la retta costituisce il modello privilegiato di tale insieme. Non solo, non è possibile trovare alcun fantasioso ordinamento dei numeri reali che renda possibile parlare di successivo di un numero reale dato. L insieme dei numeri reali è un insieme continuo. La retta è il modello della continuità e per questo si presta a rappresentare l asse temporale lungo il quale si sviluppano fenomeni che variano nel tempo, che scorre sempre con continuità. Sin dall antichità, la rappresentazione di fenomeni che variano nel tempo ha posto problemi; soprattutto quando si è ricorsi a modelli di tipo discreto, giungendo a interpretazioni paradossali. Ricorderai, per esempio, come la rappresentazione del moto da parte del filosofo Zenone di Elea (489-431 a.C.) quale successione di segmenti ognuno frazione del precedente, evidenziasse l insufficienza dell insieme dei numeri razionali nel descrivere il moto di una freccia o l impossibile corsa tra il piè veloce Achille a una tartaruga a cui era stato concesso un piccolo vantaggio. A T0 T1 T2 T3 B Benché la distanza tra i due (Achille e la tartaruga) si riduca rapidamente, Achille non potrà mai raggiungere la tartaruga, o almeno così sembrerebbe. la difformità tra la continuità di ciò che si vuole rappresentare e la discretezza del modello utilizzato a generare tali conclusioni paradossali o a dare occasione così come avvenuto nella filosofia del mondo classico a riflessioni importanti sulle caratteristiche del concetto di tempo e del concetto di movimento. Molti secoli dopo, in epoca quasi recente sono le foto stroboscopiche (figura a lato) a fissare l immagine di un moto come una successione di istantanee fisse, ottenute con un apparecchio a luce intermittente a intervalli di tempo brevissimi e sviluppate poi con una tecnica in grado di fissare immagini multiple. 154

Il Maraschini-Palma - volume 5
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