L’invertibilità

1 Funzioni reali esempio ATTENZIONE! A O Stabilisci se le seguenti funzioni sono monotòne: a. y = ax + b con a, b R b. y = ax2 + bx + c con a, b, c R e a 0 a. Qualunque siano a e b, y = ax + b è una funzione lineare: il suo grafico è una retta di cui a rappresenta il coefficiente angolare: Q se a > 0, la funzione è monotòna (crescente) in senso stretto; Q se a = 0, la funzione non è monotòna in senso stretto perché è costante; Q se a 0; 2a b ___ Q se x > è crescente se a > 0 e decrescente se a f(x2) L invertibilità Una funzione f associa a un elemento x del suo insieme di definizione, un elemento y della sua immagine. possibile allora considerare anche la corrispondenza inversa f 1 che associa all elemento y l elemento x tale che f(x) = y: x f y y f 1 Leggi Le funzioni reali x KEYWORDS K Se, per esempio, la funzione f associa a ogni automobile la sua targa, la funzione inversa f 1 permette di risalire dalla targa all automobile. Ancora, se la funzione g associa a ogni numero reale il suo triplo, la funzione g 1, sua inversa, associa a ogni numero reale la sua terza parte. Non per tutte le funzioni è possibile definire la funzione inversa: occorre che la funzione sia del tipo 1 1. Solo in questo caso anche la corrispondenza inversa è una funzione, perché soddisfa la proprietà di associare a ogni elemento dell insieme di definizione un solo elemento dell immagine. Se una funzione è strettamente monotòna, cioè sempre crescente o sempre decrescente nel suo insieme di definizione, allora per due valori distinti x1 e x2 del suo insieme di definizione è necessariamente f(x1) f(x2). Una funzione strettamente monotòna è perciò del tipo 1 1 e se ne può, quindi, considerare l inversa f 1. Possiamo pertanto affermare: una funzione monotòna (in senso stretto) è invertibile. Considerare l inversa di una corrispondenza, vuol dire scambiare il dominio con il codominio. Se, quindi, una funzione che, ricordiamo, è una particolare corrispondenza è invertibile, la funzione inversa si ottiene semplicemente scam- fu funzione inversa / inverse function ATTENZIONE! A U funzione f da A a B è detta Una 1 1 o iniettiva se a elementi distinti dell insieme di definizione A corrispondono elementi distinti nell insieme immagine. x, z A, x z f(x) f(z). Q Di una qualsiasi corrispondenza è sempre possibile considerare l inversa: se una corrispondenza è del tipo molti 1, la sua inversa è del tipo 1 molti. Ne segue che solo nel caso di una funzione del tipo 1 1, anche la corrispondenza inversa è una funzione. Una funzione è invertibile se e solo se è iniettiva. Q 15

Il Maraschini-Palma - volume 5
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