Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI Calcola i seguenti limiti, riscrivendo la funzione in modo equivalente, ma tale che il limite non sia più una forma indeterminata. esercizio svolto x 1 lim ______ x 1 x3 1 Abbiamo: x 1 _0_ (forma indeterminata) = lim ______ x 1 x3 1 0 Ricordiamo che, se un polinomio p(x) si annulla per x = a, per il teorema di Ruffini esso è divisibile per x a. Nel nostro caso, allora, sia il numeratore sia il denominatore sono divisibili per x 1. Per calcolare il limite basta dividere numeratore e denominatore per x 1, ricordando che nella definizione di limite, nell intorno di 1 il valore 1 è escluso e quindi x 1 0. x 1 x 1 1 1 = lim ________________ = lim _________ = __ lim ______ x 1 x3 1 x 1 (x 1)(x2 + x + 1) x 1 x2 + x + 1 3 (x 1)x x 1 x 1 x3 6x2 + 5x lim ___________ x 0 x3 3x2 2 x x 2 lim __________ x 1 x2 + 2x 3 x+1 lim ______ x 1 x2 1 x2 x + 2 lim __________ x 1 x2 + 2x 3 x3 x lim ______ x 0 x2 + x x2 7x + 12 lim ___________ x 3 x2 3x x2 6x + 9 lim __________ x 3 x2 3x 144 lim _______ 2 [2] _1_ 152 145 [ ] 153 _3_ 154 [ 2 ] _1_ 155 [ ] 156 [ 1] 157 [ 3 ] _1_ 158 [0] 159 146 147 148 149 150 151 [4] 1 + x3 lim ______ x 1 1 + x x3 4x2 12x lim ____________ x 0 x2 6x 2 x 9 __________ 2 lim ______ x 3 (x2 + 1 x2 4x + 3) x2 9x lim _______ x 0 x4 + x2 1 1 lim _______2 _______ 2 ( x 2 (x 2) x 2x) x x2 + 1 lim _____ ______2 x 2 (x 2 4 x ) x 1 lim __________ _____ x 1 (x2 2x + 1 x 1) 1 3 lim _____ ______ 2 x 1 (x 1 x 1) [3] [2] _3_ [5] [ ] [ ] [ da sin.;+ da dx.] [ ] [ ] esercizio svolto x4 3x2 + 2x 1 lim _______________ x 2x3 3x2 + x 3 Mettiamo in evidenza x4 a numeratore e a denominatore e poi semplifichiamo: 3 3 2 1 2 1 x4 1 __2 + __3 __4 1 __2 + __3 __4 4 2 ( ) x 3x + 2x 1 x x x x x x lim _______________ = x lim ______________ lim __________________ = x x 2x3 3x2 + x 3 2 3 1 3 3 1 3 _ _ __ __ __ 4 _2_ __ __ __ + x (x x2 + x3 x4) x x2 x3 x4 Quando x tende a , i termini con le potenze di x a denominatore tendono a 0 e la funzione tende a diventare il rapporto tra 1 e 0, quindi: x4 3x2 + 2x 1 lim _______________ = x 2x3 3x2 + x 3 160 146 x4 2 lim ______ x + x3 [+ ] 161 3x4 2x3 + 1 lim ___________ x 2x3 x2 [ ]

Il Maraschini-Palma - volume 5
Il Maraschini-Palma - volume 5