La crescenza, la decrescenza e la monotonia

1 Funzioni reali esempio O Scrivi qual è l insieme di definizione della funzione reale y = x3 x. Quali sono i suoi zeri? PROVA TU P Si tratta di una funzione razionale intera. definita, perciò, per ogni x R. La tabella seguente riporta alcuni valori assunti dalla y al variare della x; come puoi vedere, la condizione y = 0 è verificata in corrispondenza di x = 1, x = 0 e x = 1. x 3 2 1 y 24 6 0 1 __ 2 _3_ 8 _1_ 0 2 3 __ 8 0 1 2 3 0 6 24 D Determina gli zeri delle seguenti funzioni: a. y = 3 x2 4x 4 2 b. y = _ x 5 c. y = ln(x 3) Più precisamente, risolvendo in R l equazione data otteniamo i suoi zeri: x3 x = 0 x (x2 1) = 0 x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1 L individuazione degli zeri della funzione aiuta a tracciare approssimativamente il suo grafico, perché indica quali sono le sue intersezioni con l asse delle ascisse. FISSA I CONCETTI Zeri della funzione y = f (x): sono i valori di x per cui y = 0. La crescenza, la decrescenza e la monotonia Con l aiuto della tabella di valori x e y corrispondenti, disegniamo approssimativamente il grafico della funzione y = x3 x considerata nel precedente esempio. Dal grafico (figura a lato) possiamo intuire che il suo andamento, dapprima crescente (fino al punto C), poi diviene decrescente (dal punto C al punto E) per tornare, infine, nuovamente (e definitivamente) a crescere (dal punto E in poi). Approfondiremo ora questa caratteristica delle funzioni cioè quella di avere il grafico sempre crescente (fig. a.), sempre decrescente (fig. b.) o che alterna tratti in cui cresce e tratti in cui decresce (fig. c.). y y y y 6 G 4 2 C B D F 3 2 1O E 1 2 3 x 2 4 O a. x O b. x O x A 6 c. Ricordiamo che un intervallo numerico di estremi a e b può contenere o meno uno o entrambi gli estremi e viene detto intervallo chiuso o aperto. Può essere anche soltanto chiuso a sinistra oppure chiuso a destra se contiene soltanto l estremo inferiore o superiore. Gli intervalli possono essere indicati utilizzando il formalismo degli insiemi o, più semplicemente, utilizzando il simbolismo convenzionale delle parentesi tonde (estremo non compreso) o quadre (estremo compreso). Possiamo avere i seguenti intervalli: Q l intervallo aperto (a ; b) è l insieme {x R a < x < b}; Q l intervallo chiuso [a ; b] è l insieme {x R a x b}. ATTENZIONE! A Il crescere e il decrescere della funzione vanno valutati sempre immaginando di percorrere il grafico da sinistra a destra, cioè nel verso delle x crescenti. 13

Il Maraschini-Palma - volume 5
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