Due limiti notevoli

2 Limiti di funzioni reali O Dimostra che lim tanx = 0. FISSA I CONCETTI x 0 senx Poiché tanx = ____, per il teorema del quoziente e per gli esempi precedenti cosx otteniamo immediatamente: 0 lim tanx = _ = 0 x 0 1 Q Teorema del limite del valore assoluto: se lim f(x ) = l x a allora lim |f(x)| = |l | x a Q Due limiti notevoli Teorema del confronto: se una funzione è compresa fra due che hanno uguale limite, anch essa ha lo stesso limite. Utilizziamo il teorema del confronto per il calcolo di due limiti notevoli. Enunciamo il seguente teorema. senx TEOREMA (limite notevole _____) x senx Esiste il limite per x tendente a 0 della funzione y = _____ ed è 1: x senx lim _____ = 1 x 0 x senx Osserviamo che, con le usuali regole operative, il limite per x tendente a 0 di ____ è x 0 una forma indeterminata del tipo __. Il teorema consente di calcolare tale limite. 0 La dimostrazione del teorema, che puoi consultare negli Approfondimenti online, è un applicazione del teorema del confronto e parte dall osservazione che la lunghezza della circonferenza è un valore intermedio tra i perimetri dei poligoni inscritti e quelli dei poligoni circoscritti. In questo modo mettiamo in relazione le definizioni di senx, dell arco di circonferenza x (in radianti) e di tanx. Ricordiamo che è indifferente parlare di angolo «di ampiezza x (in radianti) o di arco «di lunghezza x . Approfondisci Dimostrazione dei limiti notevoli ATTENZIONE! A T limite sussiste se le ampiezze Tale sono espresse in radianti. Nel caso in cui le ampiezze degli angoli fossero espresse in gradi avremmo ___. 180 1 cosx TEOREMA (limite notevole ________) x 1 cosx Esiste il limite per x tendente a 0 della funzione y = ________ ed è 0: x 1 cosx lim ________ = 0 x 0 Approfondisci Calcolo di limiti con il cambio di variabile x La dimostrazione di questo teorema, che puoi consultare negli Approfondimenti online, è una conseguenza del primo, applicando le relazioni goniometriche che legano il seno e il coseno di un angolo. esempio O Calcola il limite: x + senx lim _ x 0 x PROVA TU P CCalcola i seguenti limiti: cosx 1 a. lim ________ x 0 x2 tan2x b. lim _____ (Suggerimento: x 0 sen x trasforma la tan2x e ricorda la formula di duplicazione del seno: sen2x = 2senxcosx) 0 Poiché lim senx = 0 e lim x = 0 otteniamo una forma indeterminata del tipo __. x 0 x 0 0 Tuttavia, possiamo riscrivere l espressione in un modo equivalente: x + senx senx _ =1+_ x Quindi: x x + senx senx senx lim _ = lim (1 + _) = lim 1 + lim _ = 1 + 1 = 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x x x FISSA I CONCETTI Limiti notevoli: Q senx lim _ = 1 x 1_ cosx lim =0 x x 0 x 0 Q 125

Il Maraschini-Palma - volume 5
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