Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI esempi O Utilizzando il teorema del confronto, verifica che lim senx = 0. x 0 Per ogni x R, 0 BA (il segmento è il percorso più breve che congiunge due punti) e BA > BH (l ipotenusa è maggiore del cateto) abbiamo che BH < BA e quindi 0 < |senx| < |x|. ATTENZIONE! A LLa disuguaglianza è evidente osservando i grafici delle funzioni y = 0, y = |senx| e y = |x|: y 4 y = x 3 2 y = senx 3 2 1 2 O 2 3 x 2 Poiché lim 0 = 0 e lim |x | = 0, per il teorema del confronto abbiamo: x 0 x 0 lim |senx | = 0 x 0 e quindi anche: lim senx = 0 x 0 Infatti, se così non fosse e tale limite fosse uguale a un valore l 0, per il teorema del limite del valore assoluto avremmo anche: lim |senx| = |l | 0 x 0 contrariamente all ipotesi. O Dimostra che lim cosx = 1. x 0 Riscrivendo la formula cos2 = 1 2 sen2 (duplicazione del coseno) con x = _ otteniamo che: 2 x cosx = 1 2 sen2 _ e dai teoremi precedenti abbiamo: 2 x lim cosx = lim(1 2 sen2 _) = 1 0 = 1 x 0 x 0 2 124

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