Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI b. Mettiamo in evidenza x3 a numeratore e a denominatore e semplifichiamo: 2 5 x3 __ + __3 2 ( x x) + 5 2x lim _ = lim ______________ = x 4 x3 x + 1 x 1 1 x3 4 __2 + __3 ( x x) Quando x tende all infinito, i termini con x a denominatore tendono a 0; 2 5 __ + __3 x x 0 = lim __________ = _ = 0 x 1 __ 1 4 __ 4 2+ 3 x x e il rapporto tende al quoziente tra due numeri (0 e 4) cioè a 0. La funzione ha quindi un asintoto orizzontale coincidente con l asse delle ascisse. Anche in questo caso è indifferente che x tenda a + oppure a . c. Analogamente ai casi precedenti scriviamo: x3 x3 1 lim _ = lim ______________ = lim _____________ = 2 x x + 2x + 1 x x 1 1 2 1 __ 1 1 __ __ x3 __ + __2 + __3 (x x x ) (x + x2 + x3) Infatti, poiché per x tendente all infinito otteniamo il quoziente tra 1 e la somma di tre grandezze tendenti a 0, la funzione tende a . Poiché il segno è negativo e l esponente è dispari, otteniamo due valori diversi a seconda che x tenda a + oppure a : x3 lim __________ = x + x2 + 2x + 1 x3 lim __________ = + x x2 + 2x + 1 Nel grafico non ci sono questa volta asintoti orizzontali. I risultati che abbiamo ottenuto nell esempio precedente possono essere generalizzati. Una funzione razionale frazionaria esprime il rapporto tra due polinomi f(x) e g(x) che, per x tendente all infinito, tendono all infinito, ma la rapidità del loro crescere verso l infinito è diversa e dipende dal grado. Approfondisci In niti e in nitesimi f(x) In particolare, lim _ = è: x g(x) Q se il grado di f(x) è maggiore del grado di g(x); Q 0 se il grado di f(x) è minore del grado di g(x); Q il rapporto l tra i coefficienti di grado massimo di f(x) e di g(x) se questi sono dello stesso grado. Altre forme indeterminate FISSA I CONCETTI Limite di una funzione razionale frazionaria, per x tendente all infinito: Q , se il numeratore ha grado maggiore; Q 0, se il numeratore ha grado minore; Q l R (rapporto tra i coefficienti di 0 grado massimo) se numeratore e denominatore hanno lo stesso grado. 122 0 Una forma del tipo 0 può essere riportata a un altra del tipo __ o ___. Se, infat0 ti, il lim (f(x) g(x)) assume una forma di questo tipo, allora possiamo scrivere x a f(x) equivalentemente: f(x) g(x) = ____ 1 ___ g(x) 1 Se lim g(x) = allora lim ___ = 0 (teorema del limite della funzione reciproca) x a x a g(x) 0 e otteniamo una forma del tipo __. Analogamente, riscrivendola come: 0 g(x) f(x) g(x) = ___ otteniamo una forma del tipo ___. 1 ___ f(x)

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