Il Maraschini-Palma - volume 5

2 Limiti di funzioni reali b. Per il secondo, dividiamo numeratore e denominatore per (x 1): x3 + 2 x2 4x + 1 x2 + 3x 1 3 lim _______________ = lim _ = _ 2 x 1 x 1 2 x+1 x 1 ATTENZIONE! A In entrambi gli esercizi dell esempio abbiamo di fatto scomposto polinomi a numeratore e a denominatore e semplificato. Infatti: x(x3 + 3x + 1) x4 + 3 x2 + x x3 + 3x + 1 _1_ ____________ = lim =lim __________ = a. lim ___________ 3 2 2 x 0 x 0 x 0 x + 2x x(x + 2) x2 + 2 (x 1)(x2 + 3x 1) x3 + 2 x2 4x + 1 x2 + 3x 1 3 ________________ = lim b. lim _______________ = lim __________ = __ 2 x 1 x 1 x 1 2 x+1 (x 1)(x + 1) x 1 esempio O Determina il limite per x tendente all infinito delle seguenti funzioni frazionarie: x3 + 2 x2 3 a. y = ___________ 4 x3 x + 1 2 x2 + 5 b. y = _ 4 x3 x + 1 x3 c. y = _ 2 x + 2x + 1 Come puoi verificare, in tutti e tre i casi sia il numeratore sia il denominatore tendono a per x tendente all infinito; per ricavare il limite dobbiamo allora scrivere in altro modo l espressione algebrica della funzione. Sono tre funzioni razionali frazionarie: nella prima i polinomi a numeratore e a denominatore sono dello stesso grado, nella seconda quello a denominatore ha grado maggiore, nella terza invece è quello a numeratore ad avere grado maggiore. a. Riscriviamo la funzione ponendo in evidenza x3 a numeratore e a denominatore e poi semplificando: 2 3 x3 1 + __ __3 ( x x) x + 2x 3 lim ___________ = lim ______________ = x 4 x3 x + 1 x 1 1 x3 4 __2 + __3 ( x x) 3 2 ATTENZIONE! A O Osserviamo che è possibile dividere per x, o x2, ... perché, calcolando il limite per x tendente a infinito, il valore di x che interessa appartiene a un intorno I in cui è sicuramente non nullo. Quando x tende all infinito i termini che contengono una potenza di x a denominatore tendono a 0 (sono infinitesimi); quindi: 2 3 1 + __ __3 x x 1 = lim __________ = __ x 1 __ 1 4 __ 4 2+ 3 x x Graficamente, questo significa che la funzione ha un asintoto orizzonta1 le (la retta y = __). Osserviamo che il risultato è uguale indifferentemente 4 che x tenda a + o a . 121

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