Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI esempio O Calcola i seguenti limiti: a. lim ( 5x4 + 12x 8) x + x7 __ + 4 x6 x2 + 1 x ( 8 ) b. lim a. Il limite è per x tendente a + ; possiamo osservare che la funzione è di grado pari (perché il grado massimo a cui compare la variabile x è 4) e che il coefficiente del termine di grado massimo è negativo. Quindi: lim ( 5x4 + 12x 8) = 5 (+ ) = Allo stesso risultato possiamo arrivare mettendo in evidenza x elevata al suo massimo grado come negli esempi di inizio paragrafo, ovvero: x + 12 8 lim ( 5x4 + 12x 8) = lim x4 5 + _3 _4 = + ( 5) = ( x + x x) x + PROVA TU P C Calcola i seguenti limiti: a. lim ( x5 + x4 2 x3) x + b. lim (x6 + 2 x4 2 x3) x b. Il limite è per x tendente a ; la funzione è di grado dispari (di settimo 1 grado) e il coefficiente del termine di grado massimo è __, negativo. 8 Quindi: lim x7 1 _ + 4 x6 x2 + 1 = _ ( ) = + ) 8 8 x ( 0 Le forme indeterminate del tipo __ e ___ 0 0 Esaminiamo ora, attraverso alcuni esempi, le forme indeterminate del tipo __ op0 _ __ pure per le funzioni razionali frazionarie e vediamo come sia possibile deter minare il valore del limite. esempio ATTENZIONE! A Il teorema di Ruffini afferma che, se sostituendo il valore k R alla variabile x del polinomio p(x) si ottiene 0, allora il polinomio è divisibile per (x k). O Calcola i seguenti limiti: x4 + 3 x2 + x a. lim ___________ x 0 x3 + 2x x3 + 2 x2 4x + 1 b. lim _______________ x 1 x2 1 Applicando il teorema del limite delle funzioni polinomiali e il teorema del limite di un quoziente, osserviamo che entrambi i limiti portano a una forma 0 indeterminata del tipo __. 0 ATTENZIONE! A possibile dividere numeratore e denominatore per (x a) perché nel calcolo del limite per x tendente ad a ci interessano i valori di x appartenenti a un intorno Ia con x a. 120 Sappiamo tuttavia che se un polinomio p(x) si annulla, per il teorema di Ruffini, esso è divisibile per (x a). Se quindi in una frazione algebrica sia il numeratore sia il denominatore si annullano per uno stesso valore x = a, è possibile dividere entrambi per (x a) e vedere se il limite è ancora una forma indeterminata. a. Per il calcolo del primo limite, basta dividere per x numeratore e denominatore ottenendo: x4 + 3 x2 + x x3 + 3x + 1 _ 1 _ lim ___________ = lim = x 0 x 0 2 x3 + 2x x2 + 2

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