Il Maraschini-Palma - volume 5

2 Limiti di funzioni reali Poiché il termine frazionario tende a 0 per x tendente all infinito, abbiamo: 1 lim 3 x4 x2) = lim x4 3 _2 = 3 = x ( x ( x) esempio O Calcola il seguente limite: lim (2 x6 3 x4 + 2) x Abbiamo: 3 2 lim 2 x6 3 x4 + 2) = lim x6 2 _2 + _6 = 2 = x ( x ( x x) Se vogliamo distinguere il caso di x tendente a + e quello di x tendente a , dobbiamo considerare diverse possibilità a seconda che il grado massimo di x sia pari o dispari e che il suo coefficiente sia positivo o negativo. Scriviamo allora una generica funzione polinomiale di grado n: y = p(x) = anxn + an 1xn 1 + an 2xn 2 +...+ a1x + a0 Distinguiamo due casi. I. L esponente n è pari Il valore di xn è sempre positivo e il segno del limite dipende da quello di an, coefficiente di xn: Q se an è positivo, il limite per x tendente a + oppure a è sempre + , cioè: lim p(x) = a n (+ ) = + x + lim p(x) = a n (+ ) = + x Q se an è negativo, il limite per x tendente a + o a è sempre : lim p(x) = a n (+ ) = x + lim p(x) = a n (+ ) = x II. L esponente n è dispari Il valore di xn è positivo se x ha valore positivo, negativo altrimenti; il segno del limite cambia a seconda che x tenda a + o a e a seconda del segno del coefficiente an: Q se an è positivo, il limite per x tendente a + è + , quello per x tendente a è : lim p(x) = a n (+ ) = + x + lim p(x) = a n ( ) = x Q se an è negativo, il limite per x tendente a + è , quello per x tendente a è + : lim p(x) = a n (+ ) = x + lim p(x) = a n ( ) = + x Per esempio: lim 2 x3 3 x2 + 4) = x ( perché per x tendente a il termine x3 si mantiene negativo e resta tale moltiplicandolo per il suo coefficiente 2 che è positivo. 119

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