Le forme indeterminate

RELAZIONI E FUNZIONI Le forme indeterminate Il teorema precedente non ci dà alcuna informazione nel caso in cui le due funzioni tendano all infinito con segno diverso: in tal caso otteniamo una situazione indeterminata. lim f(x) = + e lim g(x) = lim (f(x) + g(x)) = + x a KEYWORDS K fo forma indeterminata / indeterminate form ATTENZIONE! A L scritture del calcolo dei limiti Le utilizzano impropriamente i simboli di operazione per l infinito. Per questo motivo diciamo che sono soltanto delle forme, piuttosto che delle scritture operazionali. 0 Osserviamo inoltre che ___ e ___ 0 non sono forme indeterminate; abbiamo infatti: _ __ = _1_ = = 0 0 0 1 ___ ___ =0 =0 0=0 FISSA I CONCETTI Forme indeterminate: Q Q 0 Q Q _0_ 0 _ __ x a x a Ma per + non è possibile stabilire alcunché: è una cosiddetta forma indeterminata. Anche per il prodotto o il quoziente di funzioni occorre avere alcune cautele. Più precisamente, le operazioni con limiti infiniti danno luogo ai risultati che riassumiamo nella seguente tabella, nella quale l ed m indicano due numeri reali non nulli e finiti. lim f(x) lim g(x) lim (f(x) + g(x)) x a x a x a lim (f(x) g(x)) 1 lim ____ x a g(x) f(x) lim ____ x a g(x) x a l 0 0 m 1 __ 0 0 indeterminato 0 0 0 0 0 0 0 indeterminato 0 0 indeterminato + + + + 0 + 0 + + indeterminato 0 m _0_ + ____ + indeterminato ____ indeterminato + ____ indeterminato Ottenere una forma indeterminata non significa che il limite non esista, ma soltanto che il limite non è determinabile con le regole operative stabilite dai teoremi precedenti; occorre allora cercare altri metodi per stabilire se il limite esiste e, in tali casi, individuarlo. Una forma indeterminata, infatti, può nascondere una qualsiasi delle situazioni possibili: a. il limite potrebbe non esistere; b. il limite potrebbe essere un numero reale; c. il limite potrebbe essere infinito. Il limite infinito di una funzione polinomiale Nel calcolo del limite di una funzione polinomiale, per x tendente all infinito possiamo ottenere una forma indeterminata del tipo + , come nel seguente caso: lim (3 x4 x2) x Per determinare il valore del limite conviene allora mettere in evidenza x elevata al suo massimo grado: 1 lim 3 x4 x2) = lim x4 3 _2 x ( x ( x) 118

Il Maraschini-Palma - volume 5
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