Le operazioni con i limiti

RELAZIONI E FUNZIONI Il teorema della permanenza del segno non è però invertibile. Se in un intorno di a (o anche in ogni intorno di centro a, escluso a stesso) valgono le seguenti relazioni: Q f(x) > 0; Q esiste lim f(x) = l; x a non possiamo dedurre che il limite l sia positivo ma possiamo solo affermare che è non negativo, come puoi vedere dal seguente esempio. esempio x3 O La funzione y = __ è definita per ogni x x R0. Poiché per x 0 è possibile riscri- y vere la sua espressione come y = x2, il suo grafico è una parabola privata dal vertice O, dunque: 3 x __ > 0 per ogni intorno di x 0 FISSA I CONCETTI Q Q Q Teorema dell unicità del limite. Il limite di una funzione, se esiste, è unico. Teorema della permanenza del segno. Se una funzione ha limite non nullo per x tendente ad a, allora in un intorno di a la funzione ha lo stesso segno del limite. I teoremi valgono anche nei casi in cui a, oppure l, siano . x Possiamo dedurre da questa premessa che, per x tendente a 0, la funzione tende a un limite positivo? O x La deduzione non è legittima. Infatti, come è anche evidente dal grafico, per x tendente a 0 la funzione tende a 0: x3 lim _ = lim x2 = 0 x 0 x x 0 Quindi, in un qualsiasi intorno di 0 la funzione ha valore positivo, ma il suo limite per x tendente a 0 non è positivo. Le operazioni con i limiti ATTENZIONE! A L somma, la differenza, il prodotto La di due funzioni sono definiti nell intersezione dei loro rispettivi insiemi di definizione. Il quoziente è definito in un insieme più ristretto: dall intersezione dobbiamo infatti escludere quei valori che annullano il denominatore Approfondisci Dimostrazione del teorema (somma dei limiti) Date due funzioni reali f(x) e g(x) definite, rispettivamente, nell insieme F R e nell insieme G R, delle quali esistono e si conoscono i rispettivi limiti finiti per x tendente ad a, vogliamo individuare il limite delle seguenti funzioni: Q somma: f(x) + g(x), definita in F G; Q differenza: f(x) g(x), definita in F G; Q prodotto: f(x) g(x), definita in F G; f(x) Q quoziente: ____ definita in F G {x R g(x) = 0}. g(x) TEOREMA (somma dei limiti) Se esistono, finiti, i limiti lim f(x) = l e lim g(x) = m con l, m R allora x a x a esiste, finito, il limite della funzione somma (o differenza) ed è: lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x) = l m x a x a x a Puoi trovare la dimostrazione negli Approfondimenti online. Il teorema stabilisce che il limite di una somma di funzioni è uguale alla somma dei singoli limiti (finiti). Da esso si deduce come immediata conseguenza il limite della funzione opposta ovvero: se lim f(x) = l e l R lim ( f(x)) = l x a 114 x a

Il Maraschini-Palma - volume 5
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