Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI La funzione «parte intera è tale che in ogni intorno sufficientemente piccolo di 1 vi sono soltanto: Q valori per i quali f(x) = [x] = 0 (quando x 0 e x 0 piccolo a piacere. L esempio precedente suggerisce l opportunità di dare un ulteriore definizione relativa non più a intorni completi sull asse delle ascisse, ma a semi-intorni, cioè a intervalli che siano tutti collocati alla sinistra oppure alla destra del valore a cui tende la x: DEFINIZIONE Diremo che la funzione y = f(x), per x tendente ad a da sinistra (o da destra), ha limite sinistro (o destro) e si scrive: lim f(x) = l ( lim+f(x) = l) x a x a se per ogni intorno J l esiste un intorno I a tale che: x I a (con x a f(x) J l) Se una funzione ha in un punto un limite finito, allora in quel punto il limite sinistro e il limite destro coincidono. Può tuttavia accadere che, in un punto, una funzione abbia soltanto il limite sinistro (oppure solo quello destro), oppure che il limite sinistro e quello destro esistano entrambi, ma non coincidano. Così, nell esempio precedente: FISSA I CONCETTI Q Limite finito l per x che tende a un numero finito a: lim f (x) = l se per ogni intorno Jl lim [x] = 0 x 1 lim [x] = 1 x 1+ y x a esiste un intorno Ia tale che: x Ia (con x a) f (x) Jl Q Definizione di limite sinistro: lim f (x) = l O 1 x x a Q Definizione di limite destro: lim+ f (x) = l x a Q Se lim f (x) lim+ f (x) = l x a x a la funzione non ha il limite per x tendente ad a. 112 Osserviamo che in tale caso la funzione non ha limite, per x tendente a 1. Tuttavia, con una imprecisione linguistica, parliamo di «limite sinistro e di «limite destro . Solo quando questi due limiti coincidono la funzione ha limite.

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