Il Maraschini-Palma - volume 5

2 Limiti di funzioni reali In tale caso la retta y = l è un asintoto orizzontale per la funzione: y l M M x M L asintoto orizzontale è tangente all infinito al grafico della funzione e ne approssima l andamento quando x tende all infinito. DEFINIZIONE La retta y = l è un asintoto orizzontale per una funzione y = f(x) se: lim f(x) = l x esempio 2x 3 O Verifica che lim ______ = 2 x 4 x ATTENZIONE! A Ab Abbiamo già altre volte considerato l asintoto orizzontale o gli asintoti verticali del grafico di una funzione. Attraverso la definizione di limite ne abbiamo dato ora una definizione rigorosa. Utilizzando le strategie indicate nell unità precedente puoi riscontrare che il grafico approssimativo è quello riportato sotto. y 2 O 8 4 4 8 12 x 4 8 Per rispondere al quesito dobbiamo verificare che per ogni intorno J 2 ; di centro 2 esiste un intorno dell infinito I tale che: x I f(x) J 2 ; cioè che, comunque si scelga un numero reale positivo esista un numero reale M tale che se |x| > M allora f(x) appartiene all intorno di 2 di raggio : |x| > M |f(x) + 2| |4 x| > _5 5 5 da cui: x 4 + _ di cui, sapendo che > 0 è il raggio dell intorno 5 5 di 2 e quindi un numero piccolo, 4 _ 0; chiamando M il mag giore tra i due numeri in valore assoluto abbiamo determinato l intorno dell infinito I cercato. 5 109

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