Il limite finito per x tendente all’infinito

RELAZIONI E FUNZIONI esempio 2 O Verifica che lim __________ = 2 x 3 x 6x + 9 2 La funzione y = _ è definita per x 3 (il denominatore può essere 2 x 6x + 9 scritto come (x 3)2 e quindi si annulla per x = 3). Utilizzando le strategie indicate nell unità precedente possiamo disegnarne approssimativamente il grafico che riportiamo a lato. y 4 2 O x Dobbiamo verificare che per ogni intorno dell infinito J esiste un intorno I 3 ; di centro 3 tale che: x I 3 ; (con x 3) f(x) J cioè che comunque si scelga un numero reale positivo M, esista un numero reale positivo tale che per ogni x (diverso da 3) appartenente all intorno di 3 di raggio , la funzione risulti in valore assoluto maggiore di M: 0 M FISSA I CONCETTI Q Limite infinito per x che tende a un numero reale: lim f(x ) = x a Q M > 0 > 0 tale che x (con x a) 0 M Asintoto verticale: x = a se f (x) non è definita per x = a; se lim f(x) = x a | | 2 _ >M (x 3)2 Dal momento che l argomento del valore assoluto è sempre positivo per x 3, possiamo scrivere: y M 4 2 2 _ >M (x 3)2 O x 2 2 Per le proprietà delle disuguaglianze abbia3 3+ M M mo in modo equivalente: _ (_ x 3)2 _ 2 2 1 2 0 esiste un intorno dell infinito J tale che: x J f(x) J l ; J l ; è un intorno sull asse y di raggio ; I è un intorno dell infinito sull asse x. Anche in questo caso possiamo dare la definizione richiedendo che, comunque si scelga un numero reale positivo , esista un numero reale M tale che se |x| > M allora f(x) appartiene all intorno di l di raggio : |x| > M |f(x) l| < 108

Il Maraschini-Palma - volume 5
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