Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI O Disegna il grafico della funzione definita per casi: ATTENZIONE! A L funzione esprime una legge di La tipo quadratico e la sua inversa è una legge di tipo radicequadratico. Partendo quindi da un intorno di raggio > 0 sull asse delle ordinate, sull asse delle ascisse dobbiamo considerare un intorno di raggio _ = . Q Non necessariamente il limite di una funzione in un punto coincide con il suo valore in quel punto (vedi grafico sotto). 3 Q y= x 9x _ se x 0 x {1 se x = 0 e dimostra che lim y = 9. x 0 La funzione è definita per ogni x R. Se x 0, la sua espressione si semplifica in y = x2 9 mentre, per definizione, se x = 0 il suo valore è 1. Il grafico della funzione è costituito da una parabola, privata del punto di ascissa 0 per i valori x 0, e dal punto (0 ; 1). y 1 O y x 1 1 O x 9 I0 J 9 PROVA TU P V Verifica i seguenti limiti: a. lim x 2 = 0 x 2 x +x 2 b.lim _ = 3 x 1 x 1 2 FISSA I CONCETTI Limite finito per x che tende a un numero reale: lim f(x ) = l x a > 0 > 0 tale che x (con x a) |x a| _0, allora sull asse delle ascisse basterà prendere l intorno I 0 ; di raggio = . Se x 0 appartiene a I 0 ; , allora f(x) appartiene all intorno J 9 ; di raggio . Verifichiamolo algebricamente: _ se x I 0 ; significa che 0 < |x 0| < |x2| < Perciò, per ogni x non nullo appartenente all intorno I0, abbiamo (fig. a lato): | f(x) + 9| < |x2| < L esempio precedente ci dà modo di sottolineare ancora una volta che il limite rappresenta il comportamento tendenziale della funzione: la funzione è definita per x = 0, infatti f(0) = 1, ma il limite della funzione è l = 9 che è il valore che la funzione assumerebbe se fosse continua in x = 0. Dunque, poiché il limite di una funzione esprime un valore di tendenza (come se il grafico avesse una certa inerzia), ci può essere differenza tra limite e valore della funzione. Sempre dall esempio, osserviamo che quando vogliamo utilizzare la definizione per dimostrare che il numero l è il limite finito di una funzione f (per x tendente ad a), la scelta di viene spesso effettuata considerando la funzione f 1, inversa della funzione f: = f 1( ). Nella definizione abbiamo considerato il caso in cui il limite e il valore verso cui tende la x sono entrambi numeri reali; per esaminare il comportamento di una funzione è però importante considerare anche i casi in cui la x tende all infinito o in cui la funzione non è limitata. Tutte le definizioni ricalcano lo stesso schema, differenziandosi per il fatto di considerare o meno intorni dell infinito.

Il Maraschini-Palma - volume 5
Il Maraschini-Palma - volume 5