Il limite finito per x tendente a un numero reale

2 Limiti di funzioni reali B: «Ma allora, prendo un intorno di 2 ancora più piccolo: un intorno di 2 con raggio = 0,0001. Riuscirai a trovare dei valori di x vicini a 1 e tali che f(x) appartenga a questo intorno di 2 così piccolo? A: «Certo: prendo per esempio x (0,9999 ; 1,0001), appartenente cioè a un intorno di centro 1 e di raggio = 0,0001. Infatti, facendo i calcoli, puoi verificare che ogni x di questo nuovo mio intorno è tale che f(x) appartiene all intervallo da te scelto. A e B erano molto orgogliosi e pignoli e il dibattito, ovviamente, rischiava di continuare all infinito giacché, ogni volta, B proponeva intervalli sempre più piccoli sfidando A a trovare intorni di 1 tali che il valore della funzione andasse fuori dell intorno prefissato. Ogni volta, però, A trovava l intorno adatto. Infine, A, esausto, propose a B un modo per chiudere la questione. ATTENZIONE! A L lettera rappresenta soltanto La un qualunque numero reale positivo; tuttavia, per lunga e consolidata tradizione, nelle definizioni e discussioni sui limiti, tale simbolo è utilizzato per segnalare che interessa considerare un numero molto molto piccolo. Talvolta si legge che è «un numero reale positivo piccolo a piacere . A: «Mettiamoci d accordo: tu ora non mi dai un intorno di 2 con raggio particolare, ma un intorno con un raggio qualunque, diciamo un intorno con raggio , piccolo a piacere. Qualunque sia il numero che tu assegni, io trovo un intorno di 1 tale che se x appartiene a esso, f(x) cade nel tuo intorno di 2 di raggio . Sei allora disposto ad accettare che in queste condizioni è possibile definire che f(x) ha come limite 2 per x che tende a 1? y y 2 2 O 1 x O x 1 Poiché B accettò, fu così trovata una soddisfacente definizione di limite che non ricorreva in alcun modo ai concetti di movimento o di tendenza. KEYWORDS K Il limite finito per x tendente a un numero reale Formalizziamo il dialogo tra A e B descritto in precedenza per stabilire che cosa significa che una funzione reale di variabile reale, al tendere della variabile x a un numero reale a, ha come limite un numero reale l. DEFINIZIONE Si dice che l R è il limite della funzione y = f(x), per x tendente ad a R e si scrive: lim f(x) = l x a se per ogni intorno Jl ; di centro l e raggio > 0 esiste un intorno Ia ; di centro a e raggio > 0 è tale che: x Ia ; (con x a) f(x) Jl ; li limite della funzione y = f (x) / limit of function y = f (x) APPROFONDIMENTO A L definizione è del tutto La equivalente alla seguente (più classica come formulazione), nella quale si esplicitano i rispettivi raggi e dei due intorni. Diciamo che l R è il limite della funzione y = f(x) per x che tende ad a R e si scrive: lim f(x ) = l x a se per ogni > 0 esiste un numero > 0 tale che: se x a è tale che |x a| < allora |f (x) l| < 103

Il Maraschini-Palma - volume 5
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