3 - Il limite di una funzione

RELAZIONI E FUNZIONI Esercizi da pag. 138 3 Il limite di una funzione Per giungere a una definizione rigorosa del concetto di limite di una funzione analizziamo una sorta di dialogo, quasi una scommessa tra due persone che si sfidano a dimostrare o a contestare che una funzione «tenda al limite a un determinato valore. Nel paragrafo 2 dell unità 1 abbiamo introdotto lo studio intuitivo della continuità o discontinuità di una funzione in un punto. Consideriamo allora una funzione il cui grafico sia una linea continua privata però di un punto. Per esempio, la x2 1 funzione y = _____, definita per x R, x 1. x 1 Il suo grafico è appunto una retta tranne il punto corrispondente al valore 1 della variabile x. Infatti, se x 1, possiamo semplificare l espressione della funzione: x2 1 (x + 1)(x 1) y = _____ = ___________ = x + 1 x 1 x 1 Otteniamo, così, la retta y = x + 1 dalla quale dobbiamo, però, togliere il punto corrispondente a x = 1 perché per tale valore la funzione non è definita. y 2 O 1 x Immaginiamo allora questo dialogo tra due interlocutori A e B circa il comportamento di questa funzione in corrispondenza del valore per cui non è definita. x2 1 A: «Affermo che al tendere di x a 1 la funzione y = _____ ha come limite 2. x 1 B: «Ma x non può mai essere uguale a 1. Che cosa significa che tende? Insomma: x arriva o non arriva al valore 1? A: «Ribadisco che al tendere di x a 1 la funzione tende a 2. Ti sfido a dimostrare il contrario. B: «Scommetto che non riesci a trovare dei valori di x vicini a 1 e tali che f(x) sia quasi uguale a 2. A: «Che cosa vuol dire per te quasi uguale a 2? B: «Per esempio, che f(x) sia in un piccolo intorno di 2, mettiamo di raggio 0,01. A: « facile: prendo un valore di x (diverso da 1) che appartenga all intorno di centro 1 e raggio 0,004: |x 1| < 0,004. In tale intorno, x è compreso tra 0,996 e 1,004 (ma diverso da 1). B: «Ebbene? 0,9962 1 A: «Ebbene: f(0,996) = _________ = 1,996 0,996 1 Quindi f(0,996) appartiene all intorno di 2 che hai scelto, infatti | f(0,996) 2| = = 0,004 < 0,01. Converrai con me che qualunque x che appartenga a questo mio intorno è tale che f(x) appartiene al tuo intorno. 102

Il Maraschini-Palma - volume 5
Il Maraschini-Palma - volume 5