La continuità e la discontinuità

RELAZIONI E FUNZIONI Q Se la funzione è frazionaria sia essa algebrica o trascendente, non è possibile assegnare alla variabile x un valore che, sostituito, annulli il denominatore. L insieme di definizione è un sottoinsieme di R che non contiene i valori che sostituiti a x annullano il denominatore. Per avere l insieme di definizione, a seconda del tipo di funzione, dobbiamo anche escludere i valori che non soddisfano le condizioni viste sopra. La continuità e la discontinuità Una funzione è continua se lo è il suo grafico e viceversa. Da un punto di vista intuitivo, consideriamo continuo un grafico che può essere tracciato senza staccare la penna dal foglio. Questa definizione, seppure ingenua, ci permette di stabilire intuitivamente che una funzione è continua esaminandone il grafico. Per esempio, stabiliamo che le funzioni y = x e y = x2 sono continue osservando i rispettivi grafici la retta bisettrice del I e III quadrante e la parabola di vertice nell origine e concavità rivolta verso l alto (figura a lato). KEYWORDS K fu funzione continua / continuous function y = x2 y 5 4 3 2 1 O 3 2 1 1 y=x 1 2 3 x 2 Non tutte le funzioni sono continue: in molti casi il grafico non può essere trac1 ciato, appunto, con continuità. Per esempio, il grafico della funzione y = _, che x sappiamo rappresentare una relazione di proporzionalità inversa tra le variabili x e y, è formato da due rami di iperbole che si avvicinano agli assi cartesiani senza intersecarli (sono gli asintoti dell iperbole). Per tracciarlo è necessario staccare la penna dal foglio. y 6 4 2 6 4 y= 1 x 2 O 2 4 6 x 2 4 6 KEYWORDS K p punti di discontinuità / points of discontinuity 10 La funzione, infatti, non è definita se x = 0, perché in tal caso la sua espressione sarebbe una frazione con denominatore 0. Il suo insieme di definizione è quindi R0 e, per x = 0, il grafico non è continuo: diciamo che il grafico della funzione presenta una discontinuità in x = 0. Per qualsiasi altro valore di x, il grafico è continuo: possiamo dire che la funzione è continua nel suo insieme di definizione (ma non nel dominio). In generale se il grafico di una funzione non è continuo in alcuni punti, detti punti di discontinuità, diremo che la funzione stessa è discontinua in quei punti.

Il Maraschini-Palma - volume 5
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