4 - Altri tipi di equazioni

2 Equazioni e disequazioni goniometriche 4 Altri tipi di equazioni Esercizi da pag. 106 La risoluzione delle equazioni goniometriche non è sempre immediata. Spesso è necessario fare alcuni tentativi per riportare a un unica funzione tutte quelle che compaiono nell equazione. Se, per esempio, dobbiamo risolvere una equazione di questo tipo: 2sen2x 3cosx + 2cos2x senxcosx = 2 possiamo utilizzare la relazione fondamentale sen2x + cos2x = 1 e riscriverla in questo modo: 2(sen2x + cos2x) senxcosx 3cosx = 2 Semplificando, otteniamo: 2 senxcosx 3cosx = 2 da cui: senxcosx + 3cosx = 0 Per risolvere l equazione mettiamo in evidenza cosx: cosx(senx + 3) = 0 Otteniamo due equazioni: senx = 3 che non ha ovviamente soluzioni cosx = 0 le cui soluzioni sono x = __ + k 2 Le formule di addizione, sottrazione e duplicazione consentono di risolvere anche altri tipi di equazioni. Per esempio, risolviamo l equazione: 7 4 sen(__ x) + cos(__ + x) = 0 6 3 Con le formule introdotte, possiamo scrivere: 7 7 4 4 sen __ cosx cos __ senx + cos __ cosx sen __ senx = 0 6 6 3 3 _ _ 3 3 1 1 _ _ _ _ senx cosx + senx = 0 cosx + 2 2 2 2 _ cosx + 3 senx = 0 Dividendo per cosx, con x __ + k , abbiamo: 2_ _ 3 3tanx = 1 tanx = _ x = _ _ + k 3 6 _ _ Se x = , l equazione data si trasforma invece in una contraddizione: 2 _ _ 3 3 11 2 sen __ + cos ___ = 0 _ + _ = 0 3 6 2 2 _ _ non è dunque soluzione. 2 esempi O Risolvi l equazione goniometrica: tanx2senx + senx = 1 Riscriviamo l equazione utilizzando le formule di duplicazione: 2tanxsenxcosx + senx = 1 senx 2 ____ senx cosx + senx = 1 per x __ + k cosx 2 2sen2x + senx 1 = 0 83

Il Maraschini-Palma - volume 4
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