Il Maraschini-Palma - volume 4

RELAZIONI E FUNZIONI 2x 1 tan2 _ 1 tan2 x 2 Abbiamo: cos2x = ______________ = _____________ 2 2x 1 + tan2 _ 1 + tan x 2 2x 2tan _ 2 tanx 2 ______________ = _____________ e analogamente: sen2x = 2 2x 1 + tan2 _ 1 + tan x 2 Ponendo t = tanx, possiamo riscrivere le precedenti uguaglianze nella forma: 2t 1 t2 cos2x = _2 e sen2x = _2 con x __ + k 2 1 + t 1 + t L equazione diventa così: 2t 1 t2 _ _ + = 1 2t + 1 t2 = 1 t2 1 + t2 1 + t2 3 2t = 2 t = 1 tan x = 1 x = _ + k 4 Per applicare le formule abbiamo posto la condizione t = tanx; dobbiamo controllare se i valori x = __ + k , esclusi per poter applicare le formule, sono 2 una soluzione dell equazione. Sostituendo il valore __ nell equazione di partenza otteniamo: 2 sen + cos = 1 1 = 1 Anche in questo caso, avendo ottenuto un uguaglianza vera, x = __ + k è 2 soluzione dell equazione. ATTENZIONE! A In questo caso l ampiezza , indicata dalle formule è 2x. Quindi la nuova variabile t che introduciamo e che è uguale a tan __ è, in questo caso uguale 2 a tanx. PROVA TU P Ri Risolvi, utilizzando le formule parametriche, l equazione goniometrica: 1 _ senx 2 cosx + 2 = 0 2 Per risolvere le equazioni lineari in seno e coseno del tipo acosx + bsenx + c = 0, utilizzando le formule parametriche, occorre, quindi, riportare tutti i termini a x espressioni in t, essendo t = tan _ con x + 2k . 2 L equazione diventa allora: 1 t2 2t a _2 + b _2 + c = 0 1+t 1+t e può essere risolta come una equazione algebrica nella variabile t. Dopo aver determinato le eventuali soluzioni dell equazione, bisogna controllare se i valori x = + 2k , esclusi inizialmente per poter applicare le formule, sono soluzione dell equazione data. FISSA I CONCETTI Q Metodo di sostituzione per una equazione lineare in seno e coseno: si effettua la sostituzione X = cosx {Y = senx Q Q 82 nell equazione e nella relazione fondamentale tra seno e coseno. Si risolve poi il sistema tra le due equazioni. Formule parametriche per il seno e il coseno di una ampiezza : 2t 1 t2 Se t = tan _: cos = _2 e sen = _2 2 1 + t 1 + t Metodo risolutivo di una equazione lineare in seno e coseno con le formule parametriche: l equazione asenx + bcosx + c = 0 si risolve trasformandola in: 1 t2 2t a _2 + b _2 + c = 0 1+t 1+t con le formule parametriche.

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