Il metodo di sostituzione per la risoluzione delle

2 Equazioni e disequazioni goniometriche Il metodo di sostituzione per la risoluzione delle equazioni lineari in seno e coseno Una equazione lineare in seno e coseno può essere risolta ricorrendo a un metodo che si avvale di una sostituzione di variabili. Esso si basa sulla seguente sostituzione: ATTENZIONE! A L sostituzione utilizzata si basa La sulle definizioni di coseno e seno dell ampiezza dell angolo x, rispettivamente come ascissa e ordinata del punto P in figura. X = cosx {Y = senx In tale modo, l equazione lineare goniometrica può essere riscritta come equazione lineare algebrica: aX + bY + c = 0 Con la sostituzione di variabili effettuata, inoltre, la relazione fondamentale tra coseno e seno può essere riscritta in questo modo: X2 + Y2 = 1 Le due ultime equazioni devono essere contemporaneamente verificate e perciò le soluzioni dell equazione goniometrica iniziale coincidono con quelle del sistema: aX + bY + c = 0 {X2 + Y2 = 1 Dalla prima equazione del sistema possiamo ricavare la variabile X in funzione della Y (o viceversa) e sostituire tale espressione nella seconda equazione. Otteniamo così una equazione di secondo grado in una sola variabile che possiamo agevolmente risolvere. Y 1 senx x O cosx Vediamo per esempio come si risolve l equazione: cosx senx = 1 Effettuando le sostituzioni X = cosx, Y = senx e considerando la relazione fondamentale tra coseno e seno, scriviamo il sistema: Y=X+1 Y=X+1 X Y = 1 2 2 2 2 {X + Y = 1 {X + Y = 1 {X2 + (X + 1)2 = 1 Y=X+1 Y=X+1 {X2 + X = 0 {X(X + 1) = 0 Otteniamo come soluzioni: X1 = 0, Y1 = 1 cosx1 = 0, senx1 = 1 x1 = __ + 2k 2 X2 = 1, Y2 = 0 cosx2 = 1, senx2 = 0 x2 = + 2k Le due equazioni che formano il sistema possono essere rappresentate graficamente in un riferimento cartesiano OXY (in questo senso il metodo di sostituzione è anche detto metodo grafico). La prima equazione è una retta (di coefficiente angolare uguale a 1 e, quindi, parallela alla bisettrice del I e del III quadrante) la seconda è l equazione della circonferenza goniometrica (fig. a.). 1 1 X Y 1 Y=X+1 X2 + Y2 = 1 O 1 X a. Y 1 Le soluzioni per il coseno e il seno si possono perciò vedere come le coordinate dei punti in cui la retta e la circonferenza si intersecano. Le ampiezze degli angoli che danno luogo a tali punti sono direttamente le soluzioni dell equazione d origine. Gli angoli-soluzione sono quelli i cui lati cadono nei punti di intersezione retta-circonferenza e che sono qui indicati in colore (fig. b.): x1 = __ + 2k 2 x2 = + 2k P 1 x2 x1 O 1 X b. 79

Il Maraschini-Palma - volume 4
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