Le equazioni formate da un polinomio uguagliato a 0

2 Equazioni e disequazioni goniometriche La traccia fin qui seguita per risolvere le equazioni goniometriche non va interpretata come un algoritmo da seguire rigidamente, perché molte e diverse possono essere le strategie di soluzione. Nei paragrafi che seguono vediamo situazioni in cui è opportuno agire diversamente. Le equazioni formate da un polinomio uguagliato a 0 Se l equazione è formata da un polinomio scomponibile (nelle variabili senx e cosx) uguagliato a 0, possiamo procedere effettuando la scomposizione per utilizzare la legge di annullamento del prodotto. ATTENZIONE! A U prodotto è 0 se è 0 almeno uno Un dei suoi fattori (legge di annullamento del prodotto). Consideriamo come esempio l equazione senx + senxcos2x = 0 Interpretando senx e cos2x come variabili, essa è formata da un polinomio (scomponibile) uguagliato a 0. Effettuiamo la scomposizione: senx(1 + cos2x) = 0 Per la legge di annullamento del prodotto abbiamo due equazioni di semplice risoluzione: senx = 0 x = 0 + k 1 + cos2x = 0 cos2x = 1 2x = + 2k x = _ + k 2 Le equazioni omogenee (in senx e cosx) Un tipo di equazione goniometrica per la quale è semplice la ricerca delle soluzioni è costituito dalle equazioni omogenee. Chiamiamo in questo modo le equazioni in seno e coseno che, possono essere scritte come un polinomio uguagliato a zero in cui tutti i monomi nelle variabili senx e cosx abbiano lo stesso grado. In particolare: KEYWORDS K e equazione omogenea / homogeneous equation asenx + bcosx = 0 è una equazione omogenea di primo grado; asen2x + bcos2x + csenxcosx = 0 è omogenea di secondo grado; asen3x + bsen2xcosx + csenxcos2x + dcos3x = 0 è omogenea di terzo grado. In questo corso ci limiteremo a trattare soltanto quelle di primo grado e di secondo grado. Abbiamo già risolto una equazione omogenea di primo grado (senx = cosx) dividendo tutti i termini per cosx (con la condizione cosx 0) e abbiamo ottenuto una equazione, in cui compare solo tanx, di semplice risoluzione. Procediamo in modo analogo per risolvere una equazione omogenea di secondo grado. Risolviamo l equazione goniometrica omogenea di secondo grado: _ _ 3 sen2 x 2senxcosx 3 cos2x = 0 _ se cosx = 0 allora senx = 1, ma in tal caso l equazione diviene 3 = 0 ed è, quindi, impossibile; 2 Q se cosx 0 cioè x __ + k allora possiamo dividere tutti i termini per cos x ( ) 2 e otteniamo una equazione in cui compare soltanto tanx: Q _ _ 2 2 sen x cos x senx 3 _ 2 _ 3 _ = 0 cos2x cosx cos2x 71

Il Maraschini-Palma - volume 4
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