Il Maraschini-Palma - volume 4

2 Equazioni e disequazioni goniometriche esempi O Risolvi l equazione senx 3 = 0. Spostando a destra il termine noto, otteniamo senx = 3. Poiché il seno di un numero qualsiasi non può essere maggiore di 1 (né minore di 1) l equazione non ha soluzioni. O Risolvi l equazione senx = cosx. Per assumere direttamente la funzione come incognita, anziché la sola variabile, occorre effettuare qualche trasformazione, giacché qui compaiono entrambe le funzioni seno e coseno. Se cosx = 0 allora x = __ + k , ma in y 2 1 corrispondenza di tali angoli senx = 1 T o senx = 1; poiché in entrambi i casi saremmo in presenza di una contrad x= dizione deve essere cosx 0. 4 A 1 In tal caso possiamo dividere per cosx e otteniamo: senx _ =1 cosx O 1x 1 tanx = 1 La tangente di un angolo è uguale a 1 quando x = _ + k . 4 L insieme dei valori reali x = __ + k (con k Z) è, quindi, l insieme S delle 4 soluzioni dell equazione. Per decidere se una equazione è una identità (cioè vera per qualunque valore della variabile in cui è definita) occorre trasformare separatamente le espressioni a sinistra e a destra dell uguale e verificare che sono identiche. esempio O Verifica che l equazione (1 senx)(1 + senx) = cos2x è una identità. Effettuando la moltiplicazione a sinistra otteniamo 1 sen2x = cos2x, cioè la relazione fondamentale tra coseno e seno cos2x + sen2x = 1. Pertanto l equazione è sempre verificata. Analizziamo ora i seguenti esempi. esempi O Risolvi l equazione 2sen2x + senx = 1. Assumendo senx come incognita, otteniamo l equazione di secondo grado 2sen2x + senx 1 = 0 che ha come soluzioni: ____________ 1 1 + 8 1 3 senx = _____________________ = _ = 4 4 4 _ = 1 4 2 _ 1 _ = 4 2 69

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