Il Maraschini-Palma - volume 4

DATI E PREVISIONI 4 Il teorema di Bayes Teoria da pag. 456 I sistemi completi di alternative e i grafi ad albero Il teorema di Bayes 56 57 ARGOMENTA alternative. Spiega cosa è un sistema completo di Quanto vale la somma delle probabilità dei singoli eventi di un sistema completo di alternative? 58 59 LESSICO Enuncia il teorema di Bayes. ARGOMENTA di fiducia. Spiega che cosa intendiamo per grado esercizio svolto Due ragazzi, Luca e Giulia, si esercitano nel tiro al bersaglio. Dalle esperienze precedenti si valuta che la 1 2 probabilità che Luca colpisca il bersaglio sia __ e che Giulia colpisca il bersaglio sia __. Calcola la probabi4 5 lità che il bersaglio venga comunque colpito se entrambi tirano. Indichiamo con E1 l evento «Luca colpisce il bersaglio e con E2 l evento «Giulia colpisce il bersaglio . La probabilità che il bersaglio venga colpito (vedi la proprietà considerata nel paragrafo 2) è pertanto: p(E1 o E2) = p(E1) + p(E2) p(E1 e E2) Gli eventi E1 e E2 sono stocasticamente indipendenti e quindi: 1 2 1 p(E1 e E2) = p(E1) p(E2) = __ __ = ___ 4 5 10 Ne segue che: 1 2 1 11 p(E1 o E2) = __ + __ ___ = ___ 4 5 10 20 Osserviamo che avremmo anche potuto calcolare la probabilità richiesta come 1 p(E3), essendo E3 = «né Luca né Giulia colpiscono il bersaglio l evento complementare di E1 o E2, cioè: E3 = non(E1 o E2) = (nonE1) e (nonE2) In questo modo si ottiene infatti: 1 2 3 3 11 1 p(nonE1) p(nonE2) = 1 (1 __) (1 __) = 1 __ __ = ___ 4 5 4 5 20 esercizio svolto La probabilità che in una data stazione sciistica nevichi in un giorno di dicembre è valutata uguale a 0,7. Calcola la probabilità che la prima nevicata del mese sia il 5 dicembre. Indichiamo con Ek l evento «nevica il k-esimo giorno di dicembre (con k = 1, , 31). Abbiamo p(Ek) = 0,7 e p(nonEk) = 1 0,7 = 0,3. L evento richiesto, che indichiamo con A, si realizza se nei primi quattro giorni di dicembre non nevica e il quinto nevica ed è pertanto: (nonE1) e (nonE2) e (nonE3) e (nonE4) e E5 Essendo gli eventi tutti stocasticamente indipendenti, la probabilità di A è: p(A) = p(nonE1) p(nonE2) p(nonE3) p(nonE4) p(E5) = (p(nonE1))4 p(E5) = 0,34 0,7 = 5,67 10 3 480

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