Il Maraschini-Palma - volume 4

DATI E PREVISIONI In questo esempio, la prova e l analisi dei risultati di dieci lanci consecutivi serve a dare un idea di quanto la particolare successione sia dovuta al caso oppure al fatto che la moneta scelta sia effettivamente quella falsa. Occorre sottolineare che in tale situazione, in cui peraltro non vi è alcun altro criterio per riconoscere la moneta falsa, lanciando più volte in aria la moneta prescelta, si possono presentare due situazioni: Q se esce una volta Croce, allora siamo certi che la moneta non è quella falsa; Q se continua a uscire Testa, allora non saremo mai certi che la moneta scelta sia quella falsa. Piuttosto, aumenterà la sua probabilità di essere falsa. esempio O Riferendoci all esempio precedente, vogliamo generalizzare la situazione per un numero 10k qualsiasi di monete e un numero n qualsiasi di lanci. Calcola, al variare di n e k, alcuni valori di probabilità. Il numero totale delle disposizioni con ripetizione su n lanci è 2n, e di questi lanci la sola sequenza di tutte teste è quella da prendere in considerazione. A calcoli fatti, la precedente formula finale risulta: 2n p(F Tn) = ___________ 10k 1 + 2n La seguente tabella mostra alcuni valori di probabilità per diverse coppie di valori delle variabili n e k. n 10 20 30 50 2 0,91184 0,99991 0,99999 1 3 0,50618 0,99905 0,99999 1 6 0,00102 0,51186 0,99907 1 9 0,00001 0,00105 0,51778 0,99999 k I valori che compaiono nella tabella sono arrotondati, poiché l espressione p(F Tn) è comunque diversa da 1; essa, tuttavia, tende a 1 per n tendente a infinito. Dalla tabella si vede che aumentando il numero di lanci aumenta la probabilità di aver pescato la moneta falsa, in subordine al fatto che siano uscite tutte Teste nei diversi lanci. Per 50 lanci possiamo essere praticamente certi di avere pescato la moneta falsa, anche nel caso in cui il numero di monete fosse uguale a un miliardo. APPROFONDIMENTO A C Come abbiamo già rilevato, il teorema di Bayes è anche chiamato teorema delle cause. Il nome di teorema delle cause, anche se improprio perché sarebbe opportuno riservare il termine causa a fenomeni strettamente deterministici, esprime come, sulla sua base, sia possibile effettuare dei ragionamenti induttivi, cioè risalire a conclusioni generali sulla base di una serie di esperimenti particolari (che necessariamente riguardano un numero finito di casi). 462 La conclusione di un ragionamento induttivo su basi statistiche non può mai essere certa: presa infatti una moneta tra un milione, dopo 30 successive uscite di Testa, non possiamo dire che «la moneta è falsa , ma soltanto che «la moneta è falsa al 99,907% , oppure è falsa con un grado di fiducia del 99,907%. Il teorema di Bayes permette di assegnare un valore di probabilità al fatto che una certa ricorrenza statistica sia dovuta a una determinata causa. Anche se non siamo in grado di attribuire con certezza l evento a una determinata causa, possiamo però dire che l evento E dipende dalla causa H con probabilità p, oppure, come si usa dire, con un grado di fiducia p ovvero un valore di probabilità che riteniamo accettabile per supporre che un evento sia l effetto di una particolare causa; tale valore è, in genere, non inferiore al 95%.

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