Il teorema di Bayes

DATI E PREVISIONI esempio O Abbiamo tre urne: H1 contiene 2 palline bianche e 2 nere; H2 contiene 3 palline bianche e 1 nera; H3 contiene 4 palline bianche e 2 nere. Si lanciano due monete e si sceglie un urna: con due Testa si sceglie l urna H1, con due Croce l urna H3 e, con una Testa e una Croce l urna H2. Scelta l urna, si estrae una pallina. Qual è la probabilità che la pallina estratta sia bianca? L evento B = «estrazione di una pallina bianca è condizionato all evento H = «scelta dell urna . Una volta scelta l urna, la probabilità di estrarre una pallina bianca dipende infatti dalla composizione dell urna stessa. Possiamo rappresentare la situazione con un grafo ad albero: 1 4 1 2 H1 1 2 B 1 2 N 3 4 B 1 4 H2 H3 1 4 N 2 3 B 1 3 N Abbiamo: 1 1 1 3 1 2 2 p(B) = __ __ + __ __ + __ __ = __ 4 2 2 4 4 3 3 Il teorema di Bayes Di fronte a situazioni descritte da un sistema completo di alternative possiamo considerare anche il problema inverso; per esempio, con riferimento alla situazione descritta all inizio di questo paragrafo, sapendo che uno studente ha conseguito il diploma al 18° anno (evento D), vogliamo sapere qual è la probabilità che provenga, per esempio, dall indirizzo tecnico-professionale (evento H1). In sostanza, vogliamo calcolare la probabilità dell evento H1 condizionato all evento D: p(H1 D). Considerando la probabilità come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili, il grafo ad albero prima rappresentato fornisce un indizio per la risposta. Segniamo, infatti, in colore il percorso relativo al caso favorevole (studente diplomato, di indirizzo tecnico-professionale) e con linee continue soltanto i percorsi relativi ai casi possibili (studenti comunque diplomatisi): 45% 60% D 25% 30% H3 H3 40% 90% nonD 458 D numero dei casi favorevoli p(H 1 D) = ______________________ = numero dei casi possibili p(H 1) p(D H 1) _________________________________________ = p(H 1) p(D H 1) + p(H 2) p(D H 2) + p(H 3) p(D H 3) H3 70% 10% nonD D 30% nonD 0,45 0,60 = _________________________________ = 0,378 = 37,8% 0,45 0,60 + 0,30 0,90 + 0,25 0,70 Questo risultato venne formulato in termini generali dal matematico inglese Thomas Bayes.

Il Maraschini-Palma - volume 4
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