Il Maraschini-Palma - volume 4

10 Eventi e probabilità esempi O Da un urna, contenente sei palline rosse e quattro verdi, si estraggono successivamente due palline. Calcola la probabilità che le palline estratte siano nell ordine rossa e verde, nell ipotesi che la prima pallina estratta: I. sia rimessa nell urna dopo l estrazione; II. non sia rimessa nell urna dopo l estrazione. In ambedue i casi possiamo definire i seguenti due eventi: R = «pallina rossa alla prima estrazione ; V = «pallina verde alla seconda estrazione . Vogliamo calcolare la probabilità dell evento (R e V). Nell ipotesi I, l evento V non è influenzato dall esito della prima estrazione poiché, rimettendo la pallina nell urna, questa si ritrova nella sua composizione iniziale. Ciò non avviene nell ipotesi II, poiché le palline disponibili per la seconda estrazione sono diminuite di una unità. Entrambe le situazioni possono essere rappresentate con un grafo ad albero su ogni ramificazione del quale è indicata la probabilità che si verifichi l evento indicato: R 6 10 4 10 V R 6 10 4 10 V 6 10 4 10 6 10 4 10 5 9 4 9 6 9 3 9 R V R V R V R V con reimmissione senza reimmissione Con riferimento ai relativi alberi, abbiamo le seguenti probabilità: Ipotesi I (pallina prima estratta reinserita nell urna): p(R e V) = p(R) p(V R) = poiché nel caso in esame p(V R) = p(V) 6 6 4 = p(R) p(V) = ___ ___ = ___ 10 10 25 Ipotesi II (pallina prima estratta non reinserita nell urna): 4 6 4 p(R e V) = p(R) p(V R) = ___ __ = ___ 10 9 15 ATTENZIONE! A L costruzione di un grafo ad La albero consente di effettuare un analisi completa di tutti i possibili esiti di una prova. Ogni percorso sul grafo che va dalla radice a un nodo terminale esprime una successione di eventi congiunti incompatibile con qualunque altra successione dello stesso grafo. Allora, moltiplicando le probabilità che si incontrano in ognuno di tali percorsi, otteniamo la probabilità di tale successione. Inoltre, la probabilità di un evento individuato come disgiunzione di eventi incompatibili è calcolata come somma delle probabilità di ogni singola successione. Se nell esempio a fianco, non si richiedesse un ordine di colore nell estrazione delle palline, allora avremmo: p(R o V) = p(R) p(V R) + p(V) p(R V) Sul grafo si individuano infatti due diversi percorsi, che definiscono entrambi l evento R o V. O Estraiamo per due volte una carta, senza reimmissione, da un mazzo di carte napoletane. Gli eventi A1 = «la prima carta estratta è un asso e A2 = «la seconda carta estratta è un asso sono tra loro stocasticamente indipendenti? Rappresentiamo con un grafo ad albero la situazione, indicando con non(A) l estrazione di una carta diversa dall asso: 4 40 36 40 nonA1 A1 3 39 36 39 4 39 35 39 A2 nonA2 A2 nonA2 4 p(A1) = ___ = 0,1 = 10% 40 455

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