Il Maraschini-Palma - volume 4

10 Eventi e probabilità Supponiamo ora che una determinata malattia colpisca un individuo di U nel 5% dei casi: B = «essere malato p(B) = 0,05 = 5% Si registra poi che coloro che sono contemporaneamente fumatori e malati costituiscono il 15% della popolazione U: A e B = «essere fumatore e malato p(A e B) = 0,15 = 15% Ci si può ora chiedere: qual è l incidenza della malattia per i soli fumatori? Quanto vale la probabilità di essere malati se si restringe l analisi al solo universo dei fumatori? U A B In questo caso occorre rapportare la probabilità di «essere fumatore e malato alla sola popolazione dei fumatori: p(A e B) probabilità di essere malato per un fumatore = ________ = p(A) 0,15 _1_ ____ = = 0,50 = 50% = 0,30 2 Restringendoci al solo insieme A, consideriamo perciò un sottoinsieme dello spazio degli eventi, all interno del quale è nuovamente definita una funzione di probabilità. DEFINIZIONE Si dice probabilità condizionata di un evento B rispetto a un evento A non impossibile, e si scrive p(B A), la probabilità di B nell ipotesi che l evento A si sia già verificato. La probabilità di B condizionata ad A è: KEYWORDS K p probabilità condizionata / conditional probability p(A e B) p(B A) = ________ p(A) Dalla definizione di probabilità condizionata rileviamo subito che non ha significato il calcolo di p(B A) se l evento A è impossibile. esempi O Calcola la probabilità che, nel lancio di un dado, si verifichi l evento B = «esce un numero minore di 4 , nell ipotesi che l evento A = «esce un numero pari si sia verificato. ATTENZIONE! A N caso in cui l evento A sia Nel incompatibile con B avremmo che p(A e B) = 0 e quindi p(B A) = 0, come ci aspettiamo poiché, data l incompatibilità di due eventi, l uno non può condizionare l altro. Nell ipotesi di non sapere se l evento A si sia già verificato, la probabilità dell evento B risulta: 3 1 p(B) = __ = __ 6 2 L evento A e B è verificato soltanto nel caso in cui esce il numero 2. Abbiamo: 3 1 p(A) = __ = __ 6 2 1 p(A e B) = __ 6 Quindi, se dopo un primo lancio è uscito un numero pari, la probabilità che questo sia minore di 4 è data da: 1 _ A e B p ( ) 6 1 p(B A) = _ = _ = _ 1 3 p(A) _ 2 453

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